bonjour, j´ai un problème que me poursuit depuis quelques jours. J´ai presque l´impression qu´il est trivial:
Soient u et v deux endomorphismes de E tels que:
u o v - v o u = u.
On demande d´abord de prouver:
u^k o v - v o u^k = k.u^k.
C´est facile, il suffit de faire ça par récurrence. Mais ensuite, on demande d´en déduire que u n´est pas inversible et que la trace de u est nulle. Pour la trace, c´est simple vu que la trace est une forme linéaire que que tr(uov) = tr(vou).
Par contre, je bloque complètement sur la preuve que u n´est pas inversible. J´ai essayé de prouver que le déterminant de u est nul, mais sans résultat. Y a-t-il un théorème secret sur le déterminant d´une somme d´endomorphismes? Je n´ai rien trouvé à ce sujet.
J´ai aussi essayé de trouver un moyen de prouver que ker u n´est pas réduit á 0, mais rien à faire...![]()
merci pour vos suggestions
Christophe
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