problème d´endomorphismes

[christophe_de_Berlin]

bonjour, j´ai un problème que me poursuit depuis quelques jours. J´ai presque l´impression qu´il est trivial:

Soient u et v deux endomorphismes de E tels que:
u o v - v o u = u.

On demande d´abord de prouver:

u^k o v - v o u^k = k.u^k.

C´est facile, il suffit de faire ça par récurrence. Mais ensuite, on demande d´en déduire que u n´est pas inversible et que la trace de u est nulle. Pour la trace, c´est simple vu que la trace est une forme linéaire que que tr(uov) = tr(vou).

Par contre, je bloque complètement sur la preuve que u n´est pas inversible. J´ai essayé de prouver que le déterminant de u est nul, mais sans résultat. Y a-t-il un théorème secret sur le déterminant d´une somme d´endomorphismes? Je n´ai rien trouvé à ce sujet.

J´ai aussi essayé de trouver un moyen de prouver que ker u n´est pas réduit á 0, mais rien à faire...

merci pour vos suggestions

Christophe
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[Romain-des-Bois]

Je suis pas trop sûr (j'ai pas de papier sous la main),

mais si tu exprimes les éléments de la diagonale (de k.u^k) en fonction des éléments de u et v, tu devrais avoir quelque chose de positif.

Etant donné que la trace est nulle, les éléments de la diagonale sont nuls, d'où résultat...

[christophe_de_Berlin]

Etant donné que la trace est nulle, les éléments de la diagonale sont nuls, d'où résultat...

Es-tu sûr? La trace est la somme des éléments diagonaux. Et tu en déduits qu´ils sont tous nuls?!!

[invite3f53d719]

"mais si tu exprimes les éléments de la diagonale (de k.uk) en fonction des éléments de u et v, tu devrais avoir quelque chose de positif.

Etant donné que la trace est nulle, les éléments de la diagonale sont nuls, d'où résultat..."

Ca me parait un peu fumeux ca ^^

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite3f53d719]

En revanche, on peut raisonner par l'absurde: si u inversible, alors on aurait:

uvu(-1)-v=Id et don Tr(v)-Tr(v)=0=n ce qui est absurde.

[invite78bdfa83]

la démonstration de tr(u)=0 permet de dire que pour tout k positif ou nul tr(u^k)=0 et cela te permet de conclure que u non inversible

[Romain-des-Bois]

"mais si tu exprimes les éléments de la diagonale (de k.uk) en fonction des éléments de u et v, tu devrais avoir quelque chose de positif.

Etant donné que la trace est nulle, les éléments de la diagonale sont nuls, d'où résultat..."

Ca me parait un peu fumeux ca ^^

Bah non :

par exemple : les éléments de la diagonale sont tous des carrés. Si leur somme est nulle (trace = 0), alors ils sont tous nuls. (ils ne peuvent pas se compenser...)

Non non, c'est pas fumeux

[christophe_de_Berlin]

Ca veut dire quoi: "Par exemple les éléments diagonaux sont tous des carrés?" Qu´est-ce qui me dit qu´ils sont tous des carrés ou même ne serait-ce que positifs?

[christophe_de_Berlin]

En revanche, on peut raisonner par l'absurde: si u inversible, alors on aurait:

uvu(-1)-v=Id et don Tr(v)-Tr(v)=0=n ce qui est absurde.

Oui super Eric! merci, c´est d´une simplicité, ça fait mal d´y avoir pas pensé soi-même plus tôt! J´aurais presque préféré une démonstration bien compliquée pour me conforter dans l´idée que c´est un problème complexe et délicat...

[invite3f53d719]

Bah non :

par exemple : les éléments de la diagonale sont tous des carrés. Si leur somme est nulle (trace = 0), alors ils sont tous nuls. (ils ne peuvent pas se compenser...)

Non non, c'est pas fumeux

Bah oué, mais je ne vois pas pourquoi ils seraient des carrés! u n'est pas symétrique il me semble...

Et quand bien même ce serait le cas, on aurait une diagonale nulle, ce qui n'implique pas que u est non inversible... (voir par exemple (0,1;1,0))

A moins que je ne sois complètement à côté de la plaque

Eric

[christophe_de_Berlin]

Bah oué, mais je ne vois pas pourquoi ils seraient des carrés! u n'est pas symétrique il me semble...

Et quand bien même ce serait le cas, on aurait une diagonale nulle, ce qui n'implique pas que u est non inversible... (voir par exemple (0,1;1,0))

Eric

ben si par contre, là si tous les éléments diagonaux sont positifs ou nuls ET que la trace soit nulle, alors il en découle que tous les éléments diagonaux sont nuls, donc que le déterminant est nul, donc que u n´admet pas d´inverse.

Mais la supposition que tous les diagonaux sont positifs, ou encore mieux des carrés, n´est absolument pas justifiée. C´est ça le hic.

Christophe

[Romain-des-Bois]

Et quand bien même ce serait le cas, on aurait une diagonale nulle, ce qui n'implique pas que u est non inversible... (voir par exemple (0,1;1,0))

ben si par contre, là si tous les éléments diagonaux sont positifs ou nuls ET que la trace soit nulle, alors il en découle que tous les éléments diagonaux sont nuls, donc que le déterminant est nul, donc que u n´admet pas d´inverse.

Ah quand même

Plus simplement, si on a un élément diagonal nul, on a au moins une valeur propre nulle et donc la matrice n'est pas inversible.

Mais la supposition que tous les diagonaux sont positifs, ou encore mieux des carrés, n´est absolument pas justifiée. C´est ça le hic.

Ben quand j'ai fait le calcul (de tête vous avais-je prévenu ), il me semblait que sur la diagonale, on avait des sommes de carrés.

Apparemment, je me suis trompé


Romain

[invite3f53d719]

Désolé mais la je ne te comprend pas...

Ce n'est pas parce qu'une matrice a tous ses éléments diagonaux nuls que son déterminant est nul!!! Je redonne mon exemple de la matrice (0,1;1,0) dont le déterminant vaut -1 et qui est donc inversible.

Donc même si les éléments diagonaux étaient des sommes de carré (ce qui n'est pas le cas si u n'est pas symétrique), ton raisonnement ne marche pas!

Eric

[christophe_de_Berlin]

Désolé mais la je ne te comprend pas...

Ce n'est pas parce qu'une matrice a tous ses éléments diagonaux nuls que son déterminant est nul!!! Je redonne mon exemple de la matrice (0,1;1,0) dont le déterminant vaut -1 et qui est donc inversible.

Donc même si les éléments diagonaux étaient des sommes de carré (ce qui n'est pas le cas si u n'est pas symétrique), ton raisonnement ne marche pas!

Eric

Ah oui ben zut, t´as raison, moi je aussi je suis tombé dans le panneau de Romain. Le déterminant étant le produit des diagonaux seulement dans le cas où la matrice est triangulaire, il suffit d´un élément nul pour que le déterminant soit nul DANS UNE MATRICE TRIANGULAIRE! Sinon on ne peut rien dire.

[Romain-des-Bois]

Ah ben je dis ZUT aussi alors

j'suis tombé dans mon propre panneau...

Désolé

Romain