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Convergence d'une suite.



  1. #1
    Danke

    Convergence d'une suite.


    ------

    Comment faire pour étudier la convergence d'une somme de terme ?

    J'ai ici ma somme Vn = sin 1 /n² + sin 2/n² + ...+ sin n/n²
    Je n'arrive pas à trouver sa limite.
    Je pense que je dois utiliser le théorème des gendarmes. Mais comment trouve l'encadrement ?

    Merci.

    -----

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  3. #2
    anonymus

    Re : Convergence d'une suite.



    Chaque sinus tend vers 0.
    Donc (Vn) tend vers 0.
    En Amérique, il faut d'abord avoir le sucre, ensuite on a le pouvoir et ensuite on a la femme.

  4. #3
    prgasp77

    Re : Convergence d'une suite.

    Il y a erreur, bien que tous les thermes convergent vers zéro, nous ne pourrions pas conclure quant à la nature de la série (car le nombre de thermes dépend de n). En réalité, la série converge vers 1/2

    Majoration :



    Pour la minoration, je te laisse faire Bonne chance.

  5. #4
    Danke

    Re : Convergence d'une suite.

    Je devrais savoir faire cela en 1°S ?
    Pouvez-vous m'expliquer pourquoi et comment nous majorons et minorons ici ?
    Et d'où vient le 1/2 ?
    Dernière modification par Danke ; 02/04/2007 à 14h58.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    prgasp77

    Re : Convergence d'une suite.

    Premièrement, Erratum : terme et non therme ^^.
    Deuxièmement : non, c'est exercice est loin du niveau 1ère, c'est du post-bac.

    Pour calculer la convergence de ce genre de séries, il faut borner les sommes partielles () par des expressions calculables, et qui ont même limite (lorsque n tends vers l'infini). C'est le théorème des gendarmes que tu as cité plus haut.

    Petite question, es-tu sûr de la définition de ? C'est bien une somme de n termes en et pas autre chose ?

    Le 1/2 viens ... de loin ^^ Non en fait il vient du fait que

  8. #6
    Danke

    Re : Convergence d'une suite.

    Pourtant, cette question m'est demandée dans ma fiche d'entraînement de 1°S...
    Vn est égale à la somme des (sin k) / (n²).

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  10. #7
    Danke

    Re : Convergence d'une suite.

    Je viens de retrouver une vieille correction d'exo où on avait écrit d'encadrer comme ceci : n²/ (n²+n) < Vn < n² / (n²+1)
    Ca n'a rien a voir où bien si ?

    Merci.

  11. #8
    prgasp77

    Re : Convergence d'une suite.

    Je crois qu'il y a erreur, si cet encadrement est correct, alors tends vers 1 ... ce qui n'est pas le cas.

  12. #9
    Danke

    Re : Convergence d'une suite.

    Donc la réponse est 1/2 ou 1 ?

  13. #10
    kNz

    Re : Convergence d'une suite.

    Il me semble qu'il y a confusion au niveau de la suite étudiée.

    prgasp77 parle de
    Danke parle de

  14. #11
    prgasp77

    Re : Convergence d'une suite.

    La série converge vers un demi, mais si tu ne peux pas le démontrer, la "réponse" n'a aucune valeur ...

    kNz > C'est possible, lorsque je lui demande confirmation il ne réponds pas ... d'un autre coté s'il a lu mes messages, la confusion lui aurait sauté aux yeux (non?).

  15. #12
    Danke

    Re : Convergence d'une suite.

    Et n'y a-t-il pas moyen plus simple de trouver l'encadrement adéquat ?

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  17. #13
    kNz

    Re : Convergence d'une suite.

    Citation Envoyé par prgasp77 Voir le message
    kNz > C'est possible, lorsque je lui demande confirmation il ne réponds pas ... d'un autre coté s'il a lu mes messages, la confusion lui aurait sauté aux yeux (non?).
    cf #6

  18. #14
    Danke

    Re : Convergence d'une suite.

    Pour répéter,
    Vn = (sin 1)/n² + (sin 2)/n² + ... + (sin n)/n²

  19. #15
    prgasp77

    Re : Convergence d'une suite.

    Citation Envoyé par kNz Voir le message
    cf #6
    Citation Envoyé par Danke
    Pour répéter,
    Vn = (sin 1)/n² + (sin 2)/n² + ... + (sin n)/n²
    C'est tout de même mieux avec les parenthèses ...
    Bon, alors là ça devient faisable en 1èreS. La technique est l'encadrement.
    Il ne te reste plus qu'a prouver que pour tout n (à partir d'un certain rang),
    Pour cela, tu prends les inégalités une à une et tu tentes d'encadrer la fonction sinus de manière à retomber sur lesdites inégalités.

    Bonne chance.

  20. #16
    Danke

    Re : Convergence d'une suite.

    Oui et justement, c'est le comment de cette technqiue d'encadrement que je souahite comprendre ...

  21. #17
    prgasp77

    Re : Convergence d'une suite.

    Intuition et entrainement, désolé ...

  22. #18
    Danke

    Re : Convergence d'une suite.

    La limite de ma somme de termes est-elle bien 0 ?

    Merci.

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  24. #19
    prgasp77

    Re : Convergence d'une suite.

    On dirait bien, mais il faudrait le démontrer.

  25. #20
    hasinah

    Re : Convergence d'une suite.

    Bonjour,j'ai la même exercice,sauf il n'y a pas de sinus,on devrait juste montrer que Vn converge vers 1/2,et la je ne comprends pas votre raisonnement.merci

  26. #21
    gg0

    Re : Convergence d'une suite.

    Bonjour.

    Quel est l'énoncé de ce nouvel exercice ?

  27. #22
    hasinah

    Re : Convergence d'une suite.

    Bonsoir,
    Ce exactement comme celui d'avant mais il n'y a pas de sinus simplement ,et il faut demontrer que la suite converge vers 1/2

  28. #23
    PlaneteF

    Re : Convergence d'une suite.

    Citation Envoyé par hasinah Voir le message
    Ce exactement comme celui d'avant mais il n'y a pas de sinus simplement ,et il faut demontrer que la suite converge vers 1/2
    Bonsoir,

    Tu peux faire une factorisation évidente et le résultat est quasi immédiat.

    Cordialement
    Dernière modification par PlaneteF ; 08/12/2014 à 17h43.

  29. #24
    hasinah

    Re : Convergence d'une suite.

    je la fait mais je n'y arrive pas a le demontrer

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  31. #25
    hasinah

    Re : Convergence d'une suite.

    merci!!!! je la trouver

  32. #26
    Berenyce

    Re : Convergence d'une suite.

    Bonjour,
    Je viens juste de m'inscrire sur le forum et je tiens à vous dire bravo pour ce que vous faites : ça aide beaucoup (je consulte régulièrement)
    j'ai un souci avec une suite similaire voire identique (selon écriture), du moins plus exactement celle-là :
    Un = sin(1/n²) + sin(2/n²) + sin(3/n²) + ... + sin (n/n²)

    J'ai fait les 2ères parties de mon exo mais la 3è partie... blocage total !
    On m'y demande :
    1/ d'écrire Un avec le symbole Σ (sigma/somme).
    Je pense que c'est cela :
    En considérant 1 ≤ k ≤ n (k et n € N*) on peut écrire : de k=1 à k=n Σsin(k/n²)

    2/ Définir par récurrence la suite (Un) : là je bloque totalement !
    Car pour cela il faudrait un premier terme, disons U1 (puisque n=0 est interdit), donc U1 = Sin(1/1²) = sin(1) (≈0,84)
    Mais ensuite ? Il faudrait trouver une fonction pouvant inclure Un, du genre f(Un) pour exprimer Un+1 = f(Un). Non ? Et je bloque complètement parce que je ne vois vraiment pas comment exprimer Un+1 en fonction de Un = sin(1/n²) + sin(2/n²) + sin(3/n²) + ... + sin (n/n²) !

    Voilà mon drame du moment
    En espérant que quelqu'un puisse m'éclairer !
    Merci

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