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Convergence normale d'une suite de fonctions



  1. #1
    Quinto

    Convergence normale d'une suite de fonctions


    ------

    Salut,
    on sait que si l'on a une série de fonctions (fn), dont la série des normes converge, alors la série des fn converge également de manière uniforme(fn à valeur dans un espace normé complet, mais disons que R ira très bien)
    Notamment c'est ce que l'on appelle la convergence normale si mes souvenirs sont bons.

    On sait que si on a une suite (fn) de fonctions, on peut la voir comme une série par la relation
    fn = f0+ somme des fk-fk-1 pour k=0..n
    c'est une série téléscopique.

    En fait on peut donc voir fn comme une série de fonctions.
    Notamment, je me demande ce que l'on peut déduire de la convergence normale de cette série (f[k]-f[k-1])
    Si cette série est normalement convergente, alors elle est convergente d'après ce qui précède.
    Si la série est convergente, alors la suite ||f[n]-f[n-1]|| tend vers 0 sinon on aurait une divergence grossière.
    Jusque là je ne pense pas faire d'erreur(s), si?

    Mais je me demande si l'on ne peut pas trouver des choses intéressantes de ce coté.
    On ne peut pas montrer (immédiatement du moins) que (fn) est uniformément de Cauchy.
    J'imagine que je ne suis pas le premier à me poser la question, alors si quelqu'un avait une idée je serai preneur.
    Amicalement,
    Quinto

    -----

  2. #2
    Quinto

    Re : Convergence normale d'une suite de fonctions

    Tout le monde s'en fou, ou c'est trivial?
    Dommage moi ca m'aurait intéressé...
    Amicalement,
    Quinto

  3. #3
    BS

    Re : Convergence normale d'une suite de fonctions

    Ben par exemple si tu as ||f[n+1]-f[n]|| < 2^(-n) tu peux en déduire que (f[n]) est de Cauchy, mais je ne pense pas qu'on puisse dire grand chose de plus général...

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