Problème de Laplace

[invite4ef352d8]

Bonsoir !

j'apelle probleme de laplace la donné d'un compact D de R² (avec un bord suffisement régulier, je sais pas trop ce qui est neccesaire à ce niveaux...) , ainsi que d'une application f : frontiere(D)->R.

on sait alors qu'il existe une unique fonction V deux fois différentiable de D dans R telle que V=f sur le frontiere de D et Laplacien de V=0 sur l'intérieur de D.


Ce que je me demande, c'est si on connait une sorte de formule "une peu explicite" (par exemple une intégral sur le contour de f, ou une limite de série) qui donne V en fonction de D et de f ?
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[invite6b1e2c2e]

Salut,

Effectivement, on connaît une telle formule. Cela s'appelle en général intégrale de Green. Si tu veux une référence, je te conseille le bouquin d'Evans sobrement intitulé PDE, dans lequel il dérive des formules un peu explicites pour les solutions du problème de Laplace. En gros, pour des fonctions harmoniques, la formule de Cauchy est vraie, et sa valeur ne dépend pas du contour, exactement comme en dimension 2 où en fait tes solutions sont holomorphes puisque solution du pb de Cauchy Rieman.

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rvz

[invite4ef352d8]

Merci beaucoup.

je viens de faire des recherche rapidement sur google avec les mots clé que tu m'as donné, mais j'ai pas trouvé grand chose. Mais le Livre d'Evans est à la bilbiothèque je pourrait aller le consulter dès demain !


ceci dit, j'ai un peu de mal à voir comment on écrit la formule de cauchy pour une fonction harmonique... enfin a part la valeur moyenne sur un cercle.

[invite6b1e2c2e]

Hé bien, c'est juste que tu n'as pas besoin de faire une intégrale de contour sur un cercle ! Tu peux faire des intégrales de contour sur n'importe quelle courbe qui ne fait qu'un seul tour autour de ton point (cf par exemple Rudin, Real and Complex Analysis: il est aussi à la bibliothèque, rassure toi, et même en plusieurs exemplaires. D'ailleurs je te conseille les chapitre 10 et suivants qui sont excellents pour tout ce qui concerne les fonctions holomorphes).

D'ailleurs, je pense que dans certaines éditions du Rudin, il écrit la formule de Poisson (genre chapitre 11), qui n'est qu'un cas particulier de ce qu'il y a dans Evans dans le cas R^2, qui correspond de façon plus clair à des fonctions holomorphes.

Ca me fait aussi penser qu'il y a un sujet d'agreg de ces dernières années (2000 ?) qui discute de ce genre de résultats.

Malheureusement, je n'ai pas trop le temps de t'expliquer tout ça ce soir, mais je serai là demain si tu as des soucis

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rvz

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4ef352d8]

oui pour les fonction holomorphe je sais que ca dépend pas du contour ( et j'ai meme déja le Rudin sous la main )

ce que je comprend pas c'est comment on ecrit la formule de Cauchy pour des fonction Harmonique réel ! (pour intégrer f(z)/(z-a)... diviser un réel par z-a ca me dit rien...)

ou alors faut voir la fonction harmonique comme la parti réel dune fonction holomorphe, mais pour utiliser la formule de cauchy on a bessoin de la partie imaginaire qui va avec... et à priori on peut pas l'obtenir sans réssoudre le probleme de laplace donc ca marche pas comme ca je suppose ^^

enfin je verai cela dans le livre d'Evans surement...

[invite4ef352d8]

Re-bonjour !


j'ai été feuilleter le livre d'Evans ce midi, et j'ai trouvé la formule de green dont tu parlé. le probleme, c'est qu'elle fait intervenir la fonction de green de l'ouvert, qui est elle meme définit comme une solution d'un probleme de laplace et il n'est nul part question de comment expliciter cette fonction - mise à part à la fin pour le cas du disque et du demi-plan, je pense qu'on doit aussi pouvoir y arrivé sur une bande d'espace ou un caré mais pour des lacet un peu plus 'quelconque' ca ma pas l'air possible si ?

[invite6b1e2c2e]

j'ai été feuilleter le livre d'Evans ce midi, et j'ai trouvé la formule de green dont tu parlé. le probleme, c'est qu'elle fait intervenir la fonction de green de l'ouvert, qui est elle meme définit comme une solution d'un probleme de laplace et il n'est nul part question de comment expliciter cette fonction - mise à part à la fin pour le cas du disque et du demi-plan, je pense qu'on doit aussi pouvoir y arrivé sur une bande d'espace ou un caré mais pour des lacet un peu plus 'quelconque' ca ma pas l'air possible si ?

Salut,

C'est effectivement le problème. Cela dit, ça ramène le problème à étudier la solution fondamentale du laplacien, donc c'est déjà un petit pas en avant.

Et puis il faut bien que les edpistes aient un peu de boulot

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rvz

[invite6b1e2c2e]

Autre remarque :

Cela peut se comparer à la description classique d'un opérateur en terme de son spectre. C'est bien pratique théoriquement mais dans la pratique c'est pas terrible. Imagine que tu veuilles résoudre l'équation de la chaleur sur un ouvert borné quelconque avec condition de dirichlet au bord. Une manière de donner la solution consiste à la décrire dans la base des vecteurs propres associés à l'opérateur de Laplace avec condition au bord homogène. Cela dit, je doute fort qu'on connaisse explicitement le spectre de cet opérateur sur un ouvert quelconque, disons moche (ça commence à des exemples aussi simples que des triangles isocèles non équilatéraux, ou des stades de foot (un rectangle plus deux demi-cercles)).

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rvz, qui précise

[invite4ef352d8]

hum oui donc en fait on connait rien de tres explicite...

[invite4ef352d8]

Encore une question,

est-ce que tu connais un exemple d'ouvert connexe mais non simplement connexe sur le quelle on sache calculer la fonction de green ? (peut-etre sur les courones ? )

[invite6b1e2c2e]

Salut,

Exact, sur les couronnes, on sait le faire. Après, je ne sais plus trop comment, mais je l'ai déjà vu.

L'idée est sans doute de négliger les termes provenant de l'autre partie de la frontière, faire comme si de rien n'était, puis essayer de corriger....

Désolé, mais sur ce sujet, je crois que j'atteins mes limites. Peut-être edpiste peut-il t'en dire plus, s'il traine encore sur ce forum.

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rvz