endomorphisme avec matrice et bases

[invitecc2a5165]

salut jai un ptit soucis a un niveau de l exo :

soit E = {x€R |-> x+bx+cx² | a,b,c € R^3 }
ensemble des applications polynomiales de R dans R de dégré inf ou egal a 2
1/ on a montré que E est un R ev
2/on a montré que pour u(f)(f)=(x²-4)f'(x)-(2x+1)f(x)
l'application u est un endomorphisme de E

je coince ici :
3/pour x € R, on pose f0(x)=1, f1(x)=x,f2(x)=x².
montrer que la (f0,f1,f2) forme une base de E, en deduire dim(E)
4/ecrire la matrice de u dans la base (f0,f1,f2)
5/ montrer que u est un isomorphisme etp reciser u^-1(f) pour tout f dans E

si vous pourriez m eclairer un peu ca serait sympa, merci
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[invite4b9cdbca]

Pour la 3/, comment peux-tu caractériser une base d'un espace vectoriel :
- quand tu ne connais pas sa dimension ?
- quand tu connais sa dimension ?

Je rappelle ces quelques théorèmes du cours:
-> toute famille libre et génératrice de E est une base de E
-> toute famille de n éléments, libre, avec dim(E)=n, est une base de E
-> toute famille de n éléments, génératrice de E, est une base de E

Mais comme l'énoncé te demande d'en déduire la dimension de E, il semble plus logique de ne pas passer par les dimension pour prouver que c'est une base.
Mais tu peux toujours essayer avec différentes méthodes pour t'entraîner

[invite116650d7]

exact, il est clair que l'on ne doit pas utiliser dim(E), puisqu'il s'agit d'une conséquence de ce que l'on veut montrer.
Il faut utiliser le caractère générateur de (f0,f1,f2) dans E qui est évident. En effet, tout polynôme de degré inférieur ou égal à 2 est combinaison linéaire de 1, x, et x^2.
Ensuite, il est clair que (f0,f1,f2) est libre dans E. En effet si on envisage une C.L. de (fo,f1,f2) nulle, elle est forcément triviale (un polynôme est nul si et seulement si tous les coeff sont nuls).
Par le théorème que t'as rappelé kron, on arrive facilement à ce qu'on voulait.
Pour 4/, il n'y a pas vraiment de difficultés.
Pour 5/ il faut d'abord montrer la linéarité de u.
Ensuite il suffit de montrer la bijectivité de u. (en utilisant l'existence et l'unicité des antécédants)

[invite4b9cdbca]

Pour la dernière question, tu as peut-être le théorème qui dit :

Si f est un endomorphisme de E (de dimension finie), les trois propriétés sont équivalentes :
i) f est injective
ii) f est surjective
iii) f est bijective

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite116650d7]

Si f est un endomorphisme de E (de dimension finie), les trois propriétés sont équivalentes :
i) f est injective
ii) f est surjective
iii) f est bijective

Exact, je n'avais pas vu que u était un endomorphisme ce qui a priori n'était pas très clair, puisqu'il y avait l'air d'avoir des x^3 dans la forme explicite de u...
Il suffit alors de montrer l'injectivité (et le linéarité bien sûr!) pour montrer que u est un isomorphisme.

[invite4b9cdbca]

Il suffit alors de montrer l'injectivité (et le linéarité bien sûr!)

Mais à priori tu as déjà montrer que u était un endomorphisme, cad une application linéaire de E dans E

[invite116650d7]

Mais à priori tu as déjà montrer que u était un endomorphisme, cad une application linéaire de E dans E

Ba oui, je suis bête..

[invitecc2a5165]

oui en fait ca m 'avait pas sauté aux yeux,
mais la matrice je n'arrive pas a l'écrire :S
la famille (f0 f1 f2) elle s ecrit comment sous forme de matrice dans la base canonique ?
enfin je vois pas cmt exprimer cette famille

[invite3c5b8c37]

salut tt le monde? A L aide!!!!!!!!
est ce que quelqu un peu m'expliquer 2 choses?
notez bien;

Soit E un espace vectoriel de dimension 3 muni d'une base E = {e1, e2, e3} et soit f une application
linéaire de E dans E dénie par la matrice associée A :
A = -2 1 2
-4 3 2
-5 1 5
1. Vérifier que f (x) est bien déni pour tout x de E.
2. Déterminer les valeurs propres et sous espaces propres de f.
et sur tt les vecteurs propre

[invite4b9cdbca]

En fait (1,x,x²) EST la base canonique de ton ev. Ainsi dans cette base, la famille (f0,f1,f2) aura pour matrice la matrice identité.

Pour Marlam : qu'as tu fait ? où bloques-tu ?

[invite116650d7]

En fait (1,x,x²) EST la base canonique de ton ev. Ainsi dans cette base, la famille (f0,f1,f2) aura pour matrice la matrice identité.

exact.

1. Vérifier que f (x) est bien déni pour tout x de E.

Il suffit de vérifier que tout x de E admet bien une image par f. Tu sais que tout x de E se décompose dans ta base (e1, e2, e3). Tu sais en plus que la matrice A représente les images des trois vecteurs e1, e2, e3 dans la base (e1, e2, e3). Tu vois à partir de là comment conclure?