définition de l'indéterminée

[invite11f2a3ff]

Coucou,

Dans mon cours de sup sur les polynômes, on nous dit que X s'appelle l'indéterminée, et on nous en donne une définition :

"C'est une suite dont le premier terme vaut 1 et dont tous les suivants sont nuls."

Est-ce que quelqu'un pourrait me donner le sens et l'intérêt de cette définition, parce qu'en l'occurence j'ai vraiment du mal à saisir.

@++
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[invite6de5f0ac]

Bonjour,

"C'est une suite dont le premier terme vaut 1 et dont tous les suivants sont nuls."

Qu'est-ce que c'est que ce délire???

À la rigueur, on peut voir un polynôme à une indéterminée X sur un corps K (càd un élément de K[X]) comme une application de N vers K, qui à l'entier naturel n associe le coefficient de Xⁿ dans le polynôme en question, et donc l'assimiler à la suite de ses coefficients... mais alors X est la suite (0, 1, 0, 0...): pas de terme constant!

En plus, je ne vois pas bien l'intérêt d'une définition aussi abstraite, qu'est-ce que ça peut bien apporter???

Je compatis sincèrement si tu as un prof comme ça...

-- françois

[invite11f2a3ff]

Tu as mal lu, la définition que j'ai donnée est celle de l'indéterminée, pas du polynôme lui-même.

Ceci dit, je ne vois toujours pas non plus l'intérêt de cette définition, et c'est pour ça que je pose la question.

@+

[invite6de5f0ac]

Rebonjour,

Tu as mal lu, la définition que j'ai donnée est celle de l'indéterminée, pas du polynôme lui-même.

Ceci dit, je ne vois toujours pas non plus l'intérêt de cette définition, et c'est pour ça que je pose la question.

@+

Sisisi, j'avais bien lu... je cherchais seulement à essayer de tenter de trouver une pseudo-justification à une "définition" aussi tordue!

-- françois

[A voir en vidéo sur Futura]

[GrisBleu]

Salut

Pour definir C par exemple, tu peux travailler avec des couples de reels, sans jamais parler de i (identifier a 0,1), tu peux aussi travailler sur des matrices 2*2
i est alors, si je me rapelle
0 1
-1 0

l idee c est de definir a partir de chose intuitive. Tout le monde voit bien ce qu est une suite finie. Si tu prends l ensemble des suites finies
muni de l addition usuelle
(a1,a2,a3,...,an,0,...)+(b1,.. .,bm,0,...)=(a1+b1,a2+b2,...,a n+bn,...,bm,0,...)
muni de la multiplication avec un reel
a * (u1,...,un)=(a u1,...,a un,0,...)
muni enfin d une drole de multiplication (je te la laisse, c est celle des coefficients des polynomes)
Tu as un anneaux avec les memes proprietes que les polynomes, mais sans X
Tu peux identifier ce dernier a (0,1,0,...) comme signaler plus haut. Comme par hasard (0,1,0,...)^2=(0,0,1,0,...), etc... tu peux donc ecrire
1 <=> (1,0,..)
X<=> (0,1,0,...)
X^2 <=> (0,0,1,0,...)
etc...

et tu peux enfin ecrire
a0 + a1 X + a2 X^2 + ... <=> (a0,a1,a2,...)
finalement tu oublies la definition formelle pour ne travailler que sur la base en X, comme avec les nombres complexes ou tu travaille souvent avec a+ib que (a,b).

Pas sur que ca "serve" a qque chose, mais c est une construction formelle comme une autre

[Gwyddon]

Rebonjour,



Sisisi, j'avais bien lu... je cherchais seulement à essayer de tenter de trouver une pseudo-justification à une "définition" aussi tordue!

-- françois

Ben... C'est celle que j'ai eue, et je ne vois pas le mal au contraire elle montre bien qu'un polynôme c'est une somme finie de termes type indéterminés.

[invitea77054e9]

Salut,

C'est parti pour un mini cours sur les polynomes :
On appelle polynome (à coefficients dans mettons), la donnée d'une suite de réels dont tous les termes sont nuls, sauf un nombre fini d'entre eux (ou ce qui revient au même, dont tous les termes sont nuls à partir d'un certain rang).
Notons l'ensemble des polynomes ainsi définis. On a donc
On munit cet ensemble de deux lois de compositions internes comme suit:
- On définit l'addition de deux polynomes en sommant terme à terme, i.e. .
- On définit le produit de deux polynomes en posant , où n est le plus petit rang à partir duquel tous les coefficients de a et de b s'annulent.
On définit aussi une loi de composition externe naturelle:
pour tout scalaire et tout polynome , on pose .

Venons-en maintenant au problème qui nous concerne:
On pose .
Alors, on remarque que , ..., , etc.
De plus, si on considère un polynome dont le dernier terme non nul est , on a





EDIT: griller par Wlad!

[invité576543]

Mais dans ce cas la définition du poste #1 est fausse, c'est le deuxième terme qui vaut 1, pas le premier

Cordialement,

[Gwyddon]

Effectivement la définition du post #1 est fausse, car elle définit 1 en tant que polynôme.

[invite11f2a3ff]

D'accord, grâce à vous je comprends mieux maintenant. Effectivement, la définition donnée en vitesse (car totalement HP) par ma prof est fausse (et incomplète). Les choses s'éclaicissent petit à petit

@++

[GrisBleu]

EDIT: griller par Wlad!

Faut dire que je ne me suis pas trop embete (etre ingenieur ca marque) a faire des choses propres D aileurs je me suis trompe, c est mieux qu un anneau, c est une algebre