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Nouvelle démonstration du grand théorème de Fermat



  1. #1
    Gaétan Mbama

    Nouvelle démonstration du grand théorème de Fermat


    ------

    Je detiens une nouvelle démonstration du grand théorème de Fermat. La méthode proposée est très simple et permet une visualisation graphique du théorème.
    Ceux qui sont intéressés peuvent me contacter par l'adresse:

    *** pas de coordonnées personnelles, merci. Vous avez une messagerie privée ***

    -----
    Dernière modification par Rincevent ; 13/08/2006 à 17h47.

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  3. #2
    GuYem

    Re : Nouvelle démonstration du grand théorème de Fermat

    Aah, polémique ouverte ...

    Tu nous parles un peu de ta démonstration ? Je pense que cela peut être trés intéressant.
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  4. #3
    evariste_galois

    Re : Nouvelle démonstration du grand théorème de Fermat

    Salut,

    Tu sais, rien ne t'empêche de te présenter en premier lieu, et de décrire brièvement tes travaux. Sur quoi repose ta démonstration?

    Cordialement.
    "Au train où vont les choses, les choses où vont les trains ne seront plus des gares."

  5. #4
    GuYem

    Re : Nouvelle démonstration du grand théorème de Fermat

    Je trouve dommage de ne pas avoir de nouvellse de l'auteur.

    Pourquoi ne pas partager ?
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    jeremiah-theodorus

    Re : Nouvelle démonstration du grand théorème de Fermat

    Bonjour
    Pardonnez cette question que vous jugerez peut-être impertinente, mais qu'est-ce que le grand théorème de Fermat?
    Jeremiah Theodorus Simplex

  8. #6
    GuYem

    Re : Nouvelle démonstration du grand théorème de Fermat

    Au risque de dire une grosse bétise : il me semble que le grand théorème de Fermat affirme que l'équation x^n + y^n = z^n n'a pas de solutions entières pour n>=3.

    L'histoire veut que Fermat ait démontré ce théorème par "une preuve astucieuse qui ne loge pas dans la marge de ce cahier". Il aura fallu attendre la fin des annèes 90 pour qu'un mathématicien (anglais ?) le démontre enfin par des méthodes trés bourrines, ce qui lui valut la médaille Fields.
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

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  10. #7
    evariste_galois

    Re : Nouvelle démonstration du grand théorème de Fermat

    Citation Envoyé par GuYem Voir le message
    Au risque de dire une grosse bétise : il me semble que le grand théorème de Fermat affirme que l'équation x^n + y^n = z^n n'a pas de solutions entières pour n>=3.

    L'histoire veut que Fermat ait démontré ce théorème par "une preuve astucieuse qui ne loge pas dans la marge de ce cahier". Il aura fallu attendre la fin des annèes 90 pour qu'un mathématicien (anglais ?) le démontre enfin par des méthodes trés bourrines, ce qui lui valut la médaille Fields.
    Si je puis me permettre, la dite équation n'admet pas de solution entière non nulle

    Sinon, il me semble que la démonstration a été donnée plutôt début-milieu des années 90 (je chipote, je sais).

    Pour les courageux, lire l'excellent bouquin "Invitation aux mathématiques de Fermat-Wiles", de Yves Hellegouarch.
    "Au train où vont les choses, les choses où vont les trains ne seront plus des gares."

  11. #8
    ExtatiK Design

    Re : Nouvelle démonstration du grand théorème de Fermat

    Citation Envoyé par GuYem Voir le message
    Au risque de dire une grosse bétise : il me semble que le grand théorème de Fermat affirme que l'équation x^n + y^n = z^n n'a pas de solutions entières pour n>=3.
    L'histoire veut que Fermat ait démontré ce théorème par "une preuve astucieuse qui ne loge pas dans la marge de ce cahier". Il aura fallu attendre la fin des annèes 90 pour qu'un mathématicien (anglais ?) le démontre enfin par des méthodes trés bourrines, ce qui lui valut la médaille Fields.
    C'est pas d'entiers positifs non nuls pour n>2, non ?
    "Demonstrationem mirabilem", "Hanc marginis exiquitas non caperet" il savait ménager le suspens à l'époque Sinon, j'aimerais bien être aussi "bourrin" qu'Andrew Quelqu'un pour expliquer les courbes elliptiques et les formes modulaires...
    "Have a ball, and get involved" - Beastie Boys.

  12. #9
    Gaétan Mbama

    Re : Nouvelle démonstration du grand théorème de Fermat

    Bonjour,

    La méthode que je propose sort du cadre de la théorie des nombres et s'appuie sur la géométrie élementaire. Fermat n'était-il pas réputé être bon géomètre?

    Pour en savoir plus lisez le document ci-joint.
    Bonne lecture!
    Fichiers attachés Fichiers attachés

  13. #10
    mtheory

    Re : Nouvelle démonstration du grand théorème de Fermat

    Citation Envoyé par ExtatiK Design Voir le message
    Quelqu'un pour expliquer les courbes elliptiques et les formes modulaires...
    Rhaaaa....avec les transformations modulaires,les fonctions thêta et autres indentités admirables de Jacobi ?
    La conjecture (qui n'en est plus une si j'ai suivi/compris) de Shimura-Taniyama-Weil ?

    Je passe la main...
    “I'm smart enough to know that I'm dumb.” Richard Feynman

  14. #11
    invite7863222222222
    Invité

    Re : Nouvelle démonstration du grand théorème de Fermat

    Au début je croyais que la méthode de considérer le problème sous la forme d'une interprétation géométrique réduisait le champ d'application du théorème à certaines valeurs de x, y et z, mais finalement non ca c'ets bon je pense.

    En tout cas ca à l'air pas trop compliqué, bien posé et intéressant. Ca serait révolutionnaire qu'en à peine 3 pages, tu ais réussi à démontrer le théorème.

  15. #12
    GuYem

    Re : Nouvelle démonstration du grand théorème de Fermat

    Citation Envoyé par jreeman Voir le message
    Au début je croyais que la méthode de considérer le problème sous la forme d'une interprétation géométrique réduisait le champ d'application du théorème à certaines valeurs de x, y et z, mais finalement non ca c'ets bon je pense.

    En tout cas ca à l'air pas trop compliqué, bien posé et intéressant. Ca serait révolutionnaire qu'en à peine 3 pages, tu ais réussi à démontrer le théorème.
    Tu as raison jreeman. J'avoue ne pas avoir eu le courage de lire tous les cas en entiers.
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

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  17. #13
    lyapounov

    Re : Nouvelle démonstration du grand théorème de Fermat

    je suis pas matheux mais le passage des inégalités

    x*(17)+y*(18) =>(19)

    me gene un ch'ti peu
    La logique sert à prouver, l'intuition sert à créer. H Poincaré

  18. #14
    GuYem

    Re : Nouvelle démonstration du grand théorème de Fermat

    Citation Envoyé par lyapounov Voir le message
    je suis pas matheux mais le passage des inégalités

    x*(17)+y*(18) =>(19)

    me gene un ch'ti peu
    Personnellement ça ne me gène pas, il faut le faire inégalité par inégalité et non pas tout d'un coup. Pour la première par exemple :

    x sin > x sin^2
    y cos > y cos^2,

    en sommant ça donne ce qu'il faut.
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  19. #15
    GuYem

    Re : Nouvelle démonstration du grand théorème de Fermat

    En tous cas la conclusion donnée dans le tableau page 16, même si je n'e comprends pas tous les aspects, me parait des plus jolies : un espèce de classement des triangles selon les valeurs (réelles) de n qui peuvent satisfaire l'équation de Fermat.

    On voit clairement sur ce tableau ressortir le caractère spécial de n=2, associé aux triangles rectangles. Ca me fait penser de loin au caractère hilbertien de L^2 par rapport aux autres L^p.

    Mais voici une question pour l'auteur : réponds-tu bien à la question : " n étant donné, trouvez x, y et z entiers tels que x^n + y^n = z^n ".
    J'ai l'impression que tu traites plutôt, x, y et z étant donnés, les différentes valeurs de n qui peuvent satisfaire ... ce qui n'est pas le même problème.
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  20. #16
    kron

    Re : Nouvelle démonstration du grand théorème de Fermat

    Pour ma part, de ce que j'en ai compris, ça a l'air correct.

    Pour Guyem : non, l'auteur traite bien les cas n=1, n=2 etc. Et il cherche les triplets solution. Où est le problème ?
    Life is music !

  21. #17
    invite7863222222222
    Invité

    Re : Nouvelle démonstration du grand théorème de Fermat

    Heuu je crois que c'est incroyable je ne vois pas d'erreur...

  22. #18
    GuYem

    Re : Nouvelle démonstration du grand théorème de Fermat

    Je ne crois pas qu'il y ait de problèmes non plus, mais je ne trouve pas une réponse à la problématique posée par Fermat.

    Dans le théorème 1 par exemple, rien n'interdit à un triplet d'entier x,y,z de vérifier x^3 + y^3 = z^3. (il y a des triplets d'entiers qui ne forment pas des triangles, c'est ce que l'auteur appelle le cas "segments de droites")
    Le théorème 2 donne, pour tout x,y,z formant un triangle obtus fixé, un résultat positif d'existence d'un n dans ]1,2[ qui satisfait la fameuse équation
    Le théorème 3 quant à lui stipule le même genre de résultat pour un triangle scalène fixé.

    Bref encore une fois je ne vois rien d'incorrect dans les preuves que j'ai survolées, mais je ne vois pas non plus de réponse négative à l'existence de solutions entières de x^3 + y^3 = z^3 par exemple.
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

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  24. #19
    invite7863222222222
    Invité

    Re : Nouvelle démonstration du grand théorème de Fermat

    Bref encore une fois je ne vois rien d'incorrect dans les preuves que j'ai survolées, mais je ne vois pas non plus de réponse négative à l'existence de solutions entières de x^3 + y^3 = z^3 par exemple.
    L'idée je crois c'est de partir de la représentation géométrique, bien sur de voir x, y et z comme les longueurs d'un certain triangle et de décomposer les cas en fonction des valeurs de l'angle opposé au coté mesurant z pour enfin de montrer que quelque soit les cas, l'égalité est impossible.

    Par contre j'ai trois questions :
    • en page 12, je ne vois pas pourquoi
    • de la page 12 à 13, pourquoi 24 est équivalent à 24'
    • en page 13, je ne vois pas pourquoi

  25. #20
    GuYem

    Re : Nouvelle démonstration du grand théorème de Fermat

    Jreeman, je veux bien te croire que ces travaux démontrent la non existence de solutions, mais je ne vois pas où ...
    Un mot de l'auteur ?

    EDIT : pour tes questions jreeman, je crois qu'on se ramène, par division par z, au cas z=1. Cela explique par exemple 24 <=> 24' et prendre z=1 justifie les autres calculs que tu ne saisis pas.
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  26. #21
    rvz

    Re : Nouvelle démonstration du grand théorème de Fermat

    Salut,

    Pareil que Guyem. Ca a l'air joli, géométrique, tout ça, mais je ne vois pas en quoi ça traite du théorème de Fermat.

    Faut dire que je suis d'un naturel sceptique sur ce genre de preuve. Des preuves faciles pour prouver des théorèmes qui ont résisté pendant plus de 3 siècles à la sagacité des mathématiciens, tu ne m'en voudras pas si je te dis que je trouverais ça *très* surprenant.

    Par ailleurs, le théorème de Fermat parle bien de solutions "non triviales", ie les (0,0,0),(0,1,1),(1,0,1). (Il n'y a pas que la solution nulle.

    Ce qui m'étonne aussi (bon, d'accord, je l'ai survolé un peu vite), c'est que je ne vois pas vraiment où apparaissent les conditions (x,y,z) entiers ! Dès que tu as réécris x/z avec des sinus, je suis totalement perdu.

    __
    rvz

  27. #22
    leg

    Re : Nouvelle démonstration du grand théorème de Fermat

    bonjour a tous
    pour commencer je pense que ce qui a induit en erreur tous les mathématiciens c'est sa descente infinie qui est une impasse elle ne peut en aucun cas généraliser ce théorème.

    le passage pour n=1
    explique facilement l'absence de solution
    car si deux entiers sont somme d'un troisième, c'est à dire x + y = z cela reviendrait à dire que:
    (z²+y²)(z²-y²)= x²
    91+161=251
    ce qui a largement été démontré impossible
    de plus chaque entier étant le carré de sa racine, c'est comme si on obtenait une solution pythagorique sans mettre les côtés du triangle rectangle au carré.
    ce qui serait contraire au théorème de pythagore ou du moins ce dernier ne voudrait plus rient dire.en effet ce n'est pas l'hypoténuse qui est somme des deux autres segment, mais les segments mis au carré.

    ce qui me gène dans les figures géometriques on passe allegrement de n à n+1,2,3....etc
    en partant d'un triangle rectangle qui et supposé exister.
    par exemple 3,4 et 5 .
    comment faite vous pour passer à 3²,4²,et5² alors que vous découpez ce triangle, en multitude de triangles rectangles de plus en plus petit avec des dimentions de plus en plus grande?

    de plus a partir de n'importe quel triangle rectangle mesuré par des entiers naturels non nul, il est possible
    de les découper en multitudes de triangles rectangles
    plus petits comme le montre vos figures 1,2, 3, 4 etc
    mais on ne change pas pour autant de puissance.
    par contre il est clair que les dimentions de ces nouveaux triangles ne peuvent plus être mesuré par des entiers pour au moins un des segments. Mais ils sont toujours des triangles rectangles tel que défini par le théorème de pythagore a savoir x² + y² = z² .
    .............................. .............................. ................
    exemple:avec 3,4 et5

    Géométriquement, il suffit de tracer un carré de côté A = 7 par ex , et à l’intérieur un carré de côté Z = 5 formant 4 triangles rectangles dont l’hypoténuse est Z. Le côté A = X + Y, ce qui nous donne surface du grand carré : (X+Y)² , qui se décompose géométriquement en deux rectangles de dimension Y et X et de deux carrés, un de côté X = 3 et un de côté Y = 4.
    D’où A² =(Y+X)² = (2 Y X) + Y² + X².
    ou alors : A² =(Y+X)² = ((4 Y X)/2) + Z². On supprime les (2 Y X), ce qui donne : Z² = Y² + X² qui est le Thé de Py.

    Mais le carré de côté Y = 4, nous donne aussi a l’intérieur, deux triangles rectangles partagé par le même hypoténuse Z = 5 qui se décompose en 4 autres triangles plus petits, formant un losange dont la surface est (B * b)/2 , où B = Z ou encore somme des surfaces de ces deux triangles rectangles identiques.

    Donc le triangle rectangle Y, X et Z se partage en deux triangles R, T1 et T2 ,
    T1 , à pour hypoténuse Y= z1 et T2 hypoténuse X = z2 .
    P de Fermat connaissait ces propriétés et pouvait facilement calculer les côtés et les bases de ces deux T.R ; surface du losange / Z = b et b / 2 nous donne la deuxième coordonnée pour chacun de ces T.R : x1 = 2,4 et y2 idem . on connaît les deux hypoténuses Y = 4 et X = 3 il est donc facile de trouver y1 = 3,2 et
    x2 = 1,8 . Ce qui intéressait Fermat, c’est de trouver p et q , or Fermat savait que :
    X = p² - q² , est égale à d² + (d n) ; où d² = (p – q)², soit d = p – q ;
    et n = 2 pour q = 1 ; ce qui donne n /2 = q et q + d = p ! Car tout le monde savait que (p² + q²) – (2pq) = (p – q)² , c’est a dire Z – Y = d² carré parfait si Z et Y sont deux entiers premiers entre eux , triplet primitif !

    (propriété qui va servir pour démontrer le cas N = 4)
    il est évident que dans l’exemple ci dessus, p’ et q’ ne peuvent être des entiers , pour construire le T.R ; z1 , y1 et x1 qui nous donne la solution
    (p’² - q’²)² + (2p’q’)² = (p’² + q’²)² ; et continuer de la sorte infiniment, de plus en plus petit ! De là il savait, qu’il existerait toujours deux nombres p et q entiers ou non;quelque soit la forme dont sont définis X, Y et Z. tel que : XN + YN = ZN
    .............................. .............................. ................
    je pense que le découpage des figures géométrique n'explique pas le passage à la puissance superieur mais qu'effectivement on ne peut obtenir des triangles rectangles plus petits mesuré par trois entiers non nul!
    sous reserve bien sur.

  28. #23
    leg

    Re : Nouvelle démonstration du grand théorème de Fermat

    Note :
    e) Ce que Fermat ignorait, c’était que la formule des triplets pythagoriciens T. P ; permettait d’obtenir la formule donnant tous les triplets héroniens :
    Triangle quelconque ou scalène dont les trois côtés sont inégaux, mesuré par des entiers ainsi que la surface « ex : le triangle 4,13 et 15 ou encore 13,14 et 15. » trouvé par un inconnu mais mathématicien, bien après la démo de A Willes . Alors que cette formule élémentaire a été cherchée pendant plus de 2000ans.. ! et devant le nez de tous les mathématiciens. Formule des T.P . ( J . P .Sagnet de l’université du Québec). La formule utilise p et q impairs. « On pourrait dire: suite des T.P, Triplets Héronien T.H »
    Dans cette construction-là interviennent des nombres, fonctions des quatre paramètres m et n, p et q impairs des deux triangles pythagoriciens primitifs T1 et T2. (m² - n²) (p² + q²) / 16 = X ; (m² + n²) (p² - q²) / 16 = Z ; (α² – β²)/ 8 = y ;
    Soit le triplet Héronien 13, 14 et 15. α = (A + B) / 2 ; β = (A – B) / 2 ; qui sont les paramètre de T3, où : (m q) + (p n) = A et (m p) - (q n) = B ; et : (m q) - (p n) = D, (m p) + (q n) = C pour obtenir les paramètre de T4, soit. α = (D + C) / 2 ; β = (D – C) / 2. On obtient directement Y par : [(m q + p n) (m p – q n)] / 8 ; ou : [(m q - p n) (m p + q n)] / 8 qui donnerait le triplet Héronien 13, 4 et 15,
    Appelé côté ouest alors que 13, 14 et 15 est côté nord. (3 et 1 ; 5 et 1 sont les paramètres de p et q ainsi que de m et n )
    on peut donc dire que les scalènes mesurés par des entiers non nul, sont obtenus avec la suite de la formule des triplets PYthagoticiens, dont pythagore, Fermat , ainsi que A wiles non trouvé.
    un scalène n'est donc pas un triangle rectangle.
    sinon on pourrait dire que la formule qui donne tous les Triplets Pythagoriciens en entiers ne les donne pas tous avec les conséquences que cela impliquerait.

  29. #24
    GuYem

    Re : Nouvelle démonstration du grand théorème de Fermat

    Citation Envoyé par rvz Voir le message
    Ce qui m'étonne aussi (bon, d'accord, je l'ai survolé un peu vite), c'est que je ne vois pas vraiment où apparaissent les conditions (x,y,z) entiers ! Dès que tu as réécris x/z avec des sinus, je suis totalement perdu.

    __
    rvz, et sa fameuse "handmade" signature
    Pareil que toi, j'ai l'impression que l'auteur traite, joliment, le problème :
    " trouver des triplets x,y,z et des réels n tels que x^n + y^n = z^n ".
    La conclusion étant, résumée dans le tableau final :
    " pour certains types de triplets (triangle scalène, obtus, rectangles, pas triangles), il existe des valeurs de n dans différentes plages qui font marcher l'équation ".
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  30. Publicité
  31. #25
    martini_bird

    Re : Nouvelle démonstration du grand théorème de Fermat

    Salut,

    je n'ai pas encore lu en profondeur le pdf de Gaétan mais je signale juste qu'après Wiles, Wintenberger, Khare et Dieulefait ont donné une autre démonstration du GTF comme conséquence d'une conjecture de Serre (voir ici ou ici).

    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  32. #26
    Gaétan Mbama

    Re : Nouvelle démonstration du grand théorème de Fermat

    Gu Yem

    Regarde sur les deux graphiques, pour n=3, la courbe f1(n) et la droite f2(n) ne se coupe pas quand x, y et z représentent les trois côtés d'un triangle rectangle.

    La problèmatique posée par Fermat est celle de savoir si l'équation x^n+y^n=z^n est résoluble. Fermat affirme dans son théorème que cette équation n'est pas résoluble quand n>2. Et cette affirmation n'a de sens que quand nous nous situons dans le cadre du triangle rectangle.
    Par contre quand nous sortons du cadre du triangle rectangle, nous obtenons tout autre chose.

    Nous obtiendrons encore des résultats bien curieux si nous sortons du cadre de la géométrie euclidienne en supposant par exemple x, y et z comme étant trois côtés d'un triangle sphérique ou hyperbolique.
    Vous voyez jusqu'où nous pouvons aller. tout cela simplement Fermat contrairement à Pythagore ne nous a pas renseigné sur la réalité géométrique des variables x, y et z.

  33. #27
    martini_bird

    Re : Nouvelle démonstration du grand théorème de Fermat

    Et cette affirmation n'a de sens que quand nous nous situons dans le cadre du triangle rectangle.
    Je ne vois pas pourquoi. Si tu supposes que x, y, z sont les mesures (entières) des côtés d'un triangle rectangle, alors tu résouds le système



    Mais ceci n'est pas le GTF.

    Cordialement.

    PS : Désolé si je suis à côté de la plaque.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  34. #28
    Gaétan Mbama

    Re : Nouvelle démonstration du grand théorème de Fermat

    Bonjour Leg,

    Faites l'effort de sortir du cadre de l'arithmétique en donnant aux variables x, y et z une réalité géométrique précise puisque Fermat dans son énoncé ne le dit pas. Dans notre cas nous avons consdéré le triangle rectangle comme chez Pythagore. cela fait, usant de la logique on tire froidement toutes les conclusions qui en découlent.

    A propos du découpage du triangle rectangle, il n'est pas voulu, c'est une conséquence qui découle de l'interprétation des formules ( 6, 9 et 14) que nous avons obtenues sur cette base.

  35. #29
    Gaétan Mbama

    Re : Nouvelle démonstration du grand théorème de Fermat

    Martini_bird
    Salut, c'est sympa!
    Gaétan

  36. #30
    Gaétan Mbama

    Re : Nouvelle démonstration du grand théorème de Fermat

    jreeman

    Dans la formule (24), remplace n par zéro et prend l'inverse. Applique le théorème des sinus (page 5).

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