Nouvelle démonstration du grand théorème de Fermat

[invite6b1e2c2e]

Je crois d'ailleurs qu'il n'est pas accessoire de noter que le GTF n'intéressait personne dans les années 60 et n'était considéré que comme une curiosité ! C'est un peu par hasard que Frey (puis Ribet et al.) a raccroché le GTF aux mathématiques de notre temps (conjecture de Shimura-Taniyama-Weil entre autres). En comparaison, la conjecture de Riemann (généralisée) est beaucoup plus essentielle.

Ah je ne savais pas. Je pensais que des générations de mathématiciens s'y étaient vraiment intéressés.

En tout cas, ce qui fait la force de ce théorème auprès du grand public et de tous les amateurs de maths, comme la plupart des énoncés de théorie des nombres, c'est que l'énoncé est très facile à comprendre, mais que personne (jusqu'ici, enfin à ma connaissance, en tout cas pas encore Gaétan, mais peut-être un jour, qui sait) n'a réussi à proposer une méthode élementaire pour le prouver.

Pour Gaétan : Tu énonces quand même un résultat qui dit qu'il n'existe pas de solution non triviale à x+y = z, avec x,y,z entiers. Je répéte que c'est clairement faux, puisque tout couples d'entiers x,y donne une solution, à savoir (x,y,x+y). J'espère que ça te convaincra du bien fondé des remarques de Guyem, Martini et moi même, ou au moins, que ça te fera prendre conscience du fait que tu démontres un résultat qui n'est pas le théorème de Fermat. Je te suggère d'y re-réfléchir posément.

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rvz
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[invite6b1e2c2e]

Autre chose, je suis un amateur mais n'existe-il pas d'autre espace géométrique dans lequel tu peux essayer d'appliquer ton raisonnement tout en étant certain que ton hypothèse n'ets pas restrictive. Un espace ou x, y, z sont les cotés d'un triangle mais où pour x et y donné, z peut valoir n'importe quelle valeur dans IR (ce que je pensais au début être le cas dans le cadre de ton hypothèse) ?

Effectivement, jreeman, l'approche pourrait être intéressante en considérant des triangles quelconques de coté x y et z. Mais après, si tu utilises des sinus et de la trigonométrie comme le fait Gaétan, tu vas être *très* embêter pour exprimer simplement la condition que x,y, et z sont entiers. Et vu qu'il existe évidemment des solutions non triviales dans R^3, cette condition est évidemment essentielle ! C'est, à mon avis, ce qui empêche une preuve géométrique du théorème de Fermat, du moins par des moyens élémentaires...

__
rvz

[invite636fa06b]

Tu n'as pas le droit de rajouter comme condition :et x,y,z sont les cotés d'un triangle.

Je crois que cette condition n'est pas gênante.
Si x,y et z sont des entiers positifs vérifiant la relation de Fermat x^n+y^n=z^n, avec y>x, toutes les inégalités triangulaires sont vérifiées sauf z < x+y.
Mais cette dernière se démontre facilement puisque
z >(x+y) implique z^n >x^n+y^n+n(x^(n-1))y+...+y^n
et donc z^n >x^n+y^n+...
soit encore 0 > n(x^(n-1)y)+.....+nx(y^(n-1)) ce qui est impossible
Donc raisonner sur les cotés d'un triangle quelconque ne nuit pas à la généralité.
Je ne dirai pas la même chose d'un triangle rectangle

[invitea77054e9]

Salut,

Gaétan Mbama, ce que je trouve dommage (et douteux), c'est que tu ne réponde qu'aux questions qui t'arrange. Ca fait 4 pages qu'il t'est demandé pourqoi tu t'attardes sur le cas du triangle rectangle, et où sont passés les conditions sur le caractère entier des nombres que tu manipules dans ta démonstration. Il serait peut-être temps d'y répond, ne crois-tu pas?

Cordialement.

[invitea77054e9]

Simple remarque, pour être sûr qu'on va dans le même sens Gaétan Mbama:
A partir du moment où tu te restreins aux triplets d'entiers non triviaux qui vérifient Pythagore, tu n'es plus dans les hypothèses du GTF, puisqu'il existe des triplets d'entiers non triviaux qui ne vérifient pas Pythagore. Je ne te ferais pas l'insulte de t'en donner des exemples.

[leg]

Gaétan, il faut absolument que tu comprennes que le GTF ne considère pas que x,y et z représentent la longueur des cotés d'un triangle (rectangle ou non, peu importe).

x, y et z sont juste des entiers non nul.

je pense que vous y allait un peu fort
car si x ,y ,et z sont juste des entiers non nul et ne sont pas les côté d'un triangle rectangle, alors je ne vois pas pour quel raison on doit les mettres au carré pour verifier:
a) si x²+y² = z² theorème de pythagore où x,y et z sont bien les mesures en entiers non nul d'un triangle rectangle
b) si ces mesures verifient aussi X^N+Y^N=Z^N pour N>2
il me parait évident que si x,y et z sont les racines carrées de cette solution et par ex, pour N=3 uniquement, vous allez avoir du mal à me montrer que X, Y et Z pourrait dans ce cas précis être des entiers non nul car racine carrée de : 2,3, 5, 7 ,....n non carré , au cube ou d'une autre puissance première ne sont pas des entiers naturels..
c) que x,y et Z ne soit pas entiers, il faut qu'ils soient un triplet pythagoricien qui mis au carré vérifient bien l'égalité de pythagore X^N+Y^N=Z^N

[martini_bird]

Salut leg,

on est d'accord que si (x,y,z) est un « triplet de Fermat » (i.e. un triplets d'entiers vérifiant ), alors est candidat pour être un triplet de Pythagore. Sauf que si n est impair (et on s'intéresse seulement aux exposants premiers impairs), le triplet n'est pas un triplet d'entiers, donc pas un triplet de Pythagore.

Cordialement.

[inviteb47fe896]

oui x+y<=z c'est l'inégalité triangulaire. x+y =z étant la limite. le triangle plat..

C'est à dire les trois points alignés

[inviteb47fe896]

On peut donner une image du théorème de Pythagore en construisant sur les côtés d'un triangle rectangle, mais extérieurement au triangle, des carrés dont les côtés sont successivement les côtés du triangle ; on obtient l'image d'une "boîte ouverte et applatie" dont les faces carrées peuvent être inégales .
En considérant deux cubes de côtés a et b il semble intuitivement qu'il existe un cube dont le volume est égal à la somme des volumes des deux cubes initiaux ; mais l'arête de ce nouveau cube n'est pas de mesure entière même si les volumes des deux cubes initiaux sont entiers .

[leg]

bonjour Martini.
je suis d'accord;
Mais il faut bien en convenir que si une solution avait éxisté dans une puissance N impaire et première; le triplet X,Y et Z qui mis au carré vérifie l'équation de Fermat
X^N+Y^N=Z^N ne peut être constitué d'entier naturel, ainsi que les paramettres p et q, permétant de constituer le triplet.

donc je pense que c'est pour cela que gaétan utilise l'expréssion : les côtés d'un triangle rectangle , ce qui ne gène en rien

son travail est vrai pour N = 2 en est il de même pour N =3 déjà, et est il possible avec sa méthode de généraliser pour résoudre l'équation de Fermat...? en faisant apparaître des contradictions et montrer pourquoi tel ou tel chose est fausse. et pourquoi pas en s'appuyant sur un raisonnement par l'absurde..
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Réponse de Gaétan:
Par exemple pour n=2
Nous avons x²+y²=z² qui, après transformation, prend la forme (page 8, formule (6) ):

xsin (alpha) + y cos(alpha)=z

sur la figure n°2 nous avons : x=AC, y=AB et z= BC

xsin (alpha)= A2C n’est autre que la projection orthogonale du côté x sur l’hypoténuse ;

tout comme y cos(alpha)=A2B n’est autre que la projection orthogonale du côté y sur l’hypoténuse ;

Comme les points C, A2 et B sont sur un même axe et que A2 se situe entre C et B alors, l’égalité suivante (Relation de Chasles sur un axe) est vraie A2C+A2B=BC (formule (8), page 8) donc, l’équation x^2+y¨^2=z^2 qui traduit cette relation géométrique est aussi vraie (c’est le théorème de Pythagore).

Pour n=3

L’égalité X^3+y^3=z^3, après transformation, nous donne

xsin² (alpha) + y cos²(alpha)=z

xsin² (alpha)=A3C – Le point A3 est le retour orthogonal sur AC du sommet A après qu’il ait rebondi sur BC. (Figure n°3)

y cos²(alpha) = A’3B - Le point A’3 est le retour orthogonal sur AB du sommet A après qu’il ait rebondi sur BC. (Figure n°3)

Donc l’équation x^3+y^3= z^3 traduit la relation géométrique A3C+A’3B=BC. Or, cette relation géométrique est fausse donc x^3+y^3=z^3 est aussi fausse.
.............................. .............................. ................

[leg]

une petite question à gaetan.

j'espère qu'il n'y a pas confusion entre les racines carrées et les entiers X,Y et Z

c'est à dire dans N = 2 les côtés du triangle rectangle x, y et z sont trois entiers non nul mais aussi des racines carrées .
Alors que pour N = 3 où X, Y et Z vérifie l'équation de Fermat tel que X^N +Y^N = Z^N on est d'accord que ce triplet d'entiers ne sont pas des racines carré vérifiant une relation de pythagore et en même temps l'équation de Fermat autrement dit; sqart de X^N n'est pas égale à X mais disons x' > X idem pour Y et Z
et où effectivement le triplet x' ,y' et z' vérifie pythagore et Fermat
ce qui me fait te dire que pour n=3 tu dois montrer qu'il est impossible de construire le triangle rectangle avec X, Y et Z entiers non nul ,qui te donnerait les côtés x' ,y' et z' non entiers!

[inviteb47fe896]

Il semble dans cette discussion qu'on ne tienne pas compte d'un résultat classique, à savoir : que si dans un triangle le carré d'un côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, ce triangle est rectangle.

[leg]

Il semble dans cette discussion qu'on ne tienne pas compte d'un résultat classique, à savoir : que si dans un triangle le carré d'un côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, ce triangle est rectangle.

bonjour
je pense que si quand même,
mais on dirait que le fait de chercher 3 entiers non nul vérifiant l'équation de Fermat pour les puissance N > 2; serait sans rapport avec, justement cette relation pythagorique qui vérifie aussi l'equation de Fermat, si ce n'est que X', Y' et Z' sont les racine carrées de cette équation donc si effectivement le triplet de racines carrées n'existe pas, il est clair que les trois entiers X , Y et Z, ne peuvent exister.

Le but étant donc de montrer que l'équation de Fermat n'existe pas pour N>2, peu importe la méthode,
et donc pour ma part, je ne vois pas le rapport avec des triangles non rectangles, sauf si on peu les construire avec 3 entiers non nul, élevés à la puissance N, tel que X+Y = Z qui ne vérifie pas la relation de pythagore. le triangle n'étant pas rectangle, il serait impossible en mettant X , Y et Z au carré, d'obtenir aussi X² + Y² = Z²

je ne pense pas qu'il y ai cette confusion

[invite79d10163]

RE bonjour Geatan;

Apres reflexion, je modifie certaine de mes remarques :

1°) Je maintiens que montrer qu'un triplet pythagoricien (x;y;z tel que x^2 + y^2 = z^2) n'est pas solution de x^n + y^n = z^n pour n>2 est trivial. C'est le cas des cotés d'un triangle rectangle.

2°) le cas (x,y,z tel que x+y=z) n'est pas solution de x^n + y^n = z^n pour n>2 est encore plus trivial

3) Je m'etais emporter sur le cas du triangle quelconque. le cas du triangle quelconque est en fait tout a fait général comme la remarqué Zinia.

[leg]

RE bonjour Geatan;

Apres reflexion, je modifie certaine de mes remarques :

1°) Je maintiens que montrer qu'un triplet pythagoricien (x;y;z tel que x^2 + y^2 = z^2) n'est pas solution de x^n + y^n = z^n pour n>2 est trivial. C'est le cas des cotés d'un triangle rectangle.

je ne savais pas qu'il y avait une restriction a ce qu'un triplet pythagoricien x,y et z soit trois produit de puissance N>2 et ne puisse former un triangle rectangle jusqu'à la démonstration de A.Wiles
car si cela est triviale
personne n'a réussi a démontrer de façon triviale que la solution des puissance N paire > 4 n'avait pas de solution.
a savoir : x = a^N ; y = b^Net
z=^N
de sorte que le triplet
x² +y² = z² = (a^N)² + (b^N)² =(c^N)² ce qui vérifie bien que X^N + y^N = z^N pour N pair > 2 n'existe pas de façon générale et triviale..mais ce n'est que mon avis, peut être que je ne comprend pas quelque chose donc sous réserve.

[invite79d10163]

Soit x,y,z tel que x^2 + y^2 = z^2. x,y,z est un triplet pythagoricien, les cotés d'un triangle rectangle.

Pour n pair : z^n = (z^2)^n/2 = (x^2 + y^2)^n/2 = x^n + y^n + mutiple somme (binome de newton)

donc a priori z^n different de x^n + y^n puisque x,y,z sont des entiers strictement positifs. Donc un triplet pythagoricien n'est pas solution de l'equation de fermat.

Ai-je rater quelquechose ? si oui je m'excuse....

[invite6b1e2c2e]

Juste pour signaler qu'il existe une démonstration élémentaire (élémentaire, mais pas triviale) de l'impossibilité de trouver un triplet de Fermat non trivial pour n=4.
C'est fait par exemple dans le Samuel de théorie des nombres.
En gros, suffit de remarquer que si x^4 + y^4 = z^4 est satisfait, alors x^2, y^2, z^2 est un triplet pythagoricien. Après un peu de ruse et beaucoup de raisonnements de parité, on arrive à une impossibilité.

Je laisse les gens que ça intéresse y réfléchir. Je posterai peut-être la méthode si certains d'entre vous sont intéressés.

[Pour Skydancer : je serais curieux de savoir comment tu fais pour un entier n impair ?]
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rvz

[invite79d10163]

euh n impair, c doit etre un tout peu petit plus technique mais pas plus compliqué. Je vous laisse réflechir :

du genre : n impair = m + 1 avec m pair et puis y a qu'à ecrire le reste.

[invite636fa06b]

Soit x,y,z tel que x^2 + y^2 = z^2. x,y,z est un triplet pythagoricien, les cotés d'un triangle rectangle.

Pour n pair : z^n = (z^2)^n/2 = (x^2 + y^2)^n/2 = x^n + y^n + mutiple somme (binome de newton)

donc a priori z^n different de x^n + y^n puisque x,y,z sont des entiers strictement positifs. Donc un triplet pythagoricien n'est pas solution de l'equation de fermat.

Ai-je rater quelquechose ? si oui je m'excuse....

Je pense que vous ne parlez pas de la même chose. On doit pouvoir montrer qu'un triplet ne peux pas satisfaire simultanément deux equations de Fermat avec des n et n' différents.
Mais si l'on trouve un triplet qui vérifie l'équation pour n=6 par exemple, alors x^3, y^3 et z^3 sont bien les cotés d'un triangle rectangle. C'est ce dit leg me semble-t-il

[martini_bird]

Salut,

On doit pouvoir montrer qu'un triplet ne peux pas satisfaire simultanément deux equations de Fermat avec des n et n' différents.

Oui bien sûr, pour des raisons d'ordre de grandeur : si et , alors



EDIT : je revois ma copie et je reviens...

Contradiction.

Mais si l'on trouve un triplet qui vérifie l'équation pour n=6 par exemple, alors x^3, y^3 et z^3 sont bien les cotés d'un triangle rectangle. C'est ce dit leg me semble-t-il

Oui, je crois (cf. message #67).

Cordialement.

[leg]

tout a fait exact Zinia.

[invite636fa06b]

Salut,

Oui bien sûr, pour des raisons d'ordre de grandeur : si et , alors


EDIT : je revois ma copie et je reviens...
Cordialement.

Je pense que cela doit être faisable en utilisant la convexité des courbes t->1+t^n

[invite79d10163]

je pense aussi qu'on ne parlait pas de la meme chose...donc autant pour moi leg..

Cependant pour revenir à ce qu'a montrer Geatan à savoir que si x,y,z sont les cotés d'un triangle rectangle alors x,y,z ne sont pas solutions de l'équations de fermat pour n>2. Est ce que c'est bien ça ?

En tout cas c'est de ça que je parle dans mes posts.

[leg]

euh n impair, c doit etre un tout peu petit plus technique mais pas plus compliqué. Je vous laisse réflechir :

du genre : n impair = m + 1 avec m pair et puis y a qu'à ecrire le reste.

si c'est comme ta première démo pour le cas des puissances N pair, par exemple N = 4 peux tu le démontrer completement pour ce cas précis ;
et si effectivement pour N impair et premier, ce n'est pas plus difficile alors je t'invite au resto et tu pouurra manger ce que tu veux, car je suis preneur pour N > 4 pair ou impair.

[invite79d10163]

Tout d'abord je ne dis pas démontrer le cas général n=4. ce que je dis SIMPLEMENT c'est que si :
x^2 + y^2 = z^2 alors
z^4 = (x^2 + y^2)^2 = x^4 + y^4 + 2.x^2.y^2
donc z^4 different de x^4 + y^4
donc x,y,z n'est pas solution de l'equation de fermat pour n=4.

Ca me parait simplist pourtant, non?
JE ne dis rien de plus, désolé

[leg]

je pense aussi qu'on ne parlait pas de la meme chose...donc autant pour moi leg..

Cependant pour revenir à ce qu'a montrer Geatan à savoir que si x,y,z sont les cotés d'un triangle rectangle alors x,y,z ne sont pas solutions de l'équations de fermat pour n>2. Est ce que c'est bien ça ?

En tout cas c'est de ça que je parle dans mes posts.

mais skydancer, si x, y et z sont des produits de puissance N > 2 par exemple et qu'il forme un triangle rectangle, pourquoi veux tu, que celà ne vérifie pas l'équation de Fermat? rvz, zinia et Martini vienne de te le mettre sous le nez.
le post 67 de Martini et clair et pourtant je ne suis pas marhématicien,
tu as l'air de penser si je ne me trompe , que du fait qu'un triplet pythagoricien n'est pas une équation de Fermat alors il ne pourrait pas exister une relation pythagoriciennne ou un triplet Pytha.. qui vérifie l'équation de Fermat, les deux ne sont pas incompatible.

[invite79d10163]

Pourtant je n'arrive pas à voir ce qui cloche quand on prend un triplet pythagoricien (x,y,z | x^2+y^2=z^2) et que l'on essaie d'élever les éléments à la puissance n, cela ne marche pas comme pour l'exemple que j'ai donné quand n est pair.

Dis moi ce qui ne vas pas dans mon exemple, c'est pourtant d'une simplicité affligeante, une simple application de la formule du binome de Newton.
Est tu au moins d'accord pour le cas précédent :
x^2+y^2=z^2 => z^4 =\ x^4 + y^4
et x^2+y^2=z^2 => z^n =\ x^n + y^n pour n pair

c'est la seule chose que j'affirme. Et je pense que c'est de quoi Geatan parle en considerant des x,y,z cotés d'un triangle rectangle.

[leg]

En gros, suffit de remarquer que si x^4 + y^4 = z^4 est satisfait, alors x^2, y^2, z^2 est un triplet pythagoricien. Après un peu de ruse et beaucoup de raisonnements de parité, on arrive à une impossibilité.

Je laisse les gens que ça intéresse y réfléchir. Je posterai peut-être la méthode si certains d'entre vous sont intéressés. __
rvz

c'est toujours interréssant de voir une méthode pour résoudre le cas N=4;
car à part le fait de démontrer que si dans un triplet pythagoricien, X, est un carré ainsi que Y,alors X^4 +Y^4 = Z² n'a pas de solution donc a plus forte raison X^4+Y^4 =Z^4 non plus puisque cela serait aussi une solution dans N = 2
je n'ai jamais vu avec le cas Z et X carré ; ou Z et Y carré ne peuvent exister dans un triplet PYTH..d'où pas de solution dans N = 4.
donc si tu peux la poster, merci d'avance A+

[invite636fa06b]

Bonsoir skidancer et leg

Vous avez l'air bien partis pour un débat sans fin et je n'a pas l'intention ni la prétention de vous départager.
Simplement je voulais clarifier un point :
on peut effectivement prouver qu'un triplet de nombres réels positifs x,y,z ne peut pas vérifier deux relations :

La démonstration élémentaire utilise le fait que la fonction est concave lorsque a>1.
Il n'est pas nécessaire de poser des conditions d'appartenance à N pour les variables ou les exposants, simplement il faut éliminer les solutions triviales (avec des 0 et des 1) et prendre des exposants positifs

[invite6b1e2c2e]

Ok, je vais la poster.

Premier bout : Les triplets pythagoriciens primitifs sont de la forme (n^2-1, 2n,n^2+1). (S'inspirer d'une paramétrisation rationnelle du cercle unité)

Deuxième bout :
x^4 + y^4 = z^4 avec x,y,z premiers entre eux dans leur ensemble (solution non triviale).
Alors x^4 + y^4 = Z^2.
Donc on peut écrire x^2 = n^2 -1,
y^2 = 2n, Z = n^2 +1 ...
Donc (n-x)(n+x) = 1.
Donc n-x = +/-1 et n+x = n-x. Donc 2x = 0 On a donc affaire à une solution triviale x=0, d'où une contradiction.

En fait, ça me paraît un peu bizarre que ça marche comme ça. J'ai du me planter quelque part, à vous d'être critique

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rvz