Logarithmes TS

[invite8965dcb5]

Bonjour !
Alors voilà, je suis en terminale S, j'ai un exo sur les logarithmes et j'ai tourné la question dans tous les sens je n'arrive pas à trouver ce qu'il faut, pourtant je suis sure que je suis pas si loin que ça, ça m'énerve ^^
Voilà l'énoncer, si vous pouvez m'aider à me sortir de là n'hésitez surtout pas ^^

1) Démontrer que pour tout réel u >-1, ln(1+u)<u
(ça je crois que j'y suis à peu près arrivée mm si ma dém est un peu brouillon je trouve ^^)

2)En déduire que pour tout entier n>1 ln(1 + 1/n) < 1/n

Le reste de l'exo découle de cette question, donc voilà, je suis partie de toutes les propositions possible, svp, help ! ^^ merci d'avance...
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[invitea7fcfc37]

Bonjour,

As tu pensé à étudier le signe de f : x -> ln(1+x) - x ?

[invite8965dcb5]

Oui c'est justement comme ça que j'ai "trouvé" une démonstration pour la première question, j'ai essayer de mettre ln(1+u)-u sous une forme factorisée, je suis passée par l'exponentielle, le problème c'est qu'après je me retrouve avec le produit trouvé comparé avec 1 et non 0 :

ln(1+u) -u < 0 <=> (1+u).exp(-u) < 1

Donc voilà, je ne crois pas que comparer les deux membres de ce produit à 1 constitue une démonstration pertinente ...
Où est l'erreur ? Juste un indice me suffirait

[invite7553e94d]

1) Démontrer que pour tout réel u >-1, ln(1+u)<u
(ça je crois que j'y suis à peu près arrivée mm si ma dém est un peu brouillon je trouve ^^)

Bonjour. Peut-être peux-tu nous faire part de ta démonstration, nous pourrions valider. Mais si tu te sent l'âme de faire quelque chose de sympa ... et si tu as vu en cours un théorème (ou proposition) disant qu' "une fonction est 'en dessous' de ses tangentes si elle est concave, et une fonction est concave si sa dérivée seconde est négative", alors tu peux remarquer que u->u est tangente à u->ln(1+u) en zéro (et c'est terminé)

2)En déduire que pour tout entier n>1 ln(1 + 1/n) < 1/n

Pour celle-ci, regarde bien le 1) ... tu ne remarques pas comme une ressemblance ?

Bonne chance.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8965dcb5]

Malheureusement je n'ai pas vu ce théorème avec la cocavité et les tangentes ...
Pour la suite de ma démonstration j'ai ça :

ln(1+u) -u < 0 <=> (1+u).exp(-u) < 1
après j'ai trouvé que (1+u)<1 pour -1<u<0 et exp(-u) < 1 pour u>0

Donc pour -1<u on a soit (1+u)>1 et 0<exp(-u)<1 soit (1+u)<1 et exp(-u)>1, donc comme le produit d'un nombre supérieur à 1 et d'un nombre inférieur à 1 est forcément inférieur à 1...

Ca fait brouillon, et je sais pas bien si c'est bien juste ^^

Pour la question 2) merci prgasp77, tu m'as éclairée, pourquoi on cherche toujours compliqué quand on peut faire simple ? alala

Si quelqu'un a une idée pour la première question, ou un avis sur ma "démonstration", je suis preneuse ! ^^

[invite427a2582]

Malheureusement je n'ai pas vu ce théorème avec la cocavité et les tangentes ...
Pour la suite de ma démonstration j'ai ça :

ln(1+u) -u < 0 <=> (1+u).exp(-u) < 1
après j'ai trouvé que (1+u)<1 pour -1<u<0 et exp(-u) < 1 pour u>0

Donc pour -1<u on a soit (1+u)>1 et 0<exp(-u)<1 soit (1+u)<1 et exp(-u)>1, donc comme le produit d'un nombre supérieur à 1 et d'un nombre inférieur à 1 est forcément inférieur à 1...

Ca fait brouillon, et je sais pas bien si c'est bien juste ^^

Pour la question 2) merci prgasp77, tu m'as éclairée, pourquoi on cherche toujours compliqué quand on peut faire simple ? alala

Si quelqu'un a une idée pour la première question, ou un avis sur ma "démonstration", je suis preneuse ! ^^

Salut,
Ta démonstration doit aboutir au résultat demandé et non l'inverse.

Tu peux poser f(u) = ln(1+u)-u et I ton intervalle :

f'(u) = u/(1+u) -1 <=> f'(u) = -1/(1+u)
Qqsoit u appartenant à I, f'(u)<0 car (1+u) >=0 et -1<0
Donc la fct représentatife de f(u) est strictement décroissante sur I

Ensuite tu dis que lorsque u tend vers -1 f(u) tend vers -00

Donc qqsoit u appartennant à I, f(u) <0 <=> ln(1+u)<0 <=>ln(1+u)<u

[invite427a2582]

Non mais je me suis trompé I n'est pas [0,+00[ mais [-1,+00[
Tu peux diviser la démo en 2 parties sur ]-1,0[ et ]0 ; +00[

La partie de démo est bonne sauf que tu remplaces :"Ensuite tu dis que lorsque u tend vers -1 f(u) tend vers -00" par : qd u tend vers 0 f(u) tend vers -1 donc la fct est bien négative.

Etu sur -1;0[, pareil f(u)<0

[invite7553e94d]

Bonjour,

As tu pensé à étudier le signe de f : x -> ln(1+x) - x ?

Bonjour. Ne pas chercher compliquer, et suivre le conseil de kNz Certes, ce n'est pas une analyse habituelle, il n'est pas possible de dire imédiatement pour quels x f(x) est positif.

Voila comment procéder :
1\ Calculer f', la dérivée de f
2\ Résoudre f'(x)=0
3\ Résoudre f'(x) 0
4\ Tracer le tableau de variation de f
5\ En déduire le plus grande valeur prise par f(x)
6\ En déduir le signe de x

Je voulais en dire moins que ça ...

[invite8965dcb5]

Ok d'ac, j'y avais pensé mais c'est vraiment long je trouve pour une première question, l'exercice en contient 7 donc bon...
Enfin je fais ça, s'il n'y a pas plus simple c'est qu'il doit falloir faire comme ça ^^
En tous cas merci beaucoup à vous tous !

[invite7553e94d]

Et bien en fait c'est très rapide (une ligne par point, soit 5 lignes + un tableau)

[invite116650d7]

Malheureusement je n'ai pas vu ce théorème avec la cocavité et les tangentes ...
Pour la suite de ma démonstration j'ai ça :

ln(1+u) -u < 0 <=> (1+u).exp(-u) < 1
après j'ai trouvé que (1+u)<1 pour -1<u<0 et exp(-u) < 1 pour u>0

Donc pour -1<u on a soit (1+u)>1 et 0<exp(-u)<1 soit (1+u)<1 et exp(-u)>1, donc comme le produit d'un nombre supérieur à 1 et d'un nombre inférieur à 1 est forcément inférieur à 1...

Ca fait brouillon, et je sais pas bien si c'est bien juste ^^

Pour la question 2) merci prgasp77, tu m'as éclairée, pourquoi on cherche toujours compliqué quand on peut faire simple ? alala

Si quelqu'un a une idée pour la première question, ou un avis sur ma "démonstration", je suis preneuse ! ^^

Le raisonnement est faux. Le produit d'un nombre supérieur à 1 avec un nombre inférieur à 1 ne donne pas forcément un nombre inférieur à 1!!! Multiplie 3 par 0.5...

La partie de démo est bonne sauf que tu remplaces :"Ensuite tu dis que lorsque u tend vers -1 f(u) tend vers -00" par : qd u tend vers 0 f(u) tend vers -1 donc la fct est bien négative.

Non, la démonstration n'est pas bonne, il y a une erreur dans le calcul de la dérivée. De plus la fonction est continue en 0, la limite de f en 0 est f(0)=0, et c'est par ailleurs le maximum de la fonction.

[invite8965dcb5]

Merci beaucoup à tous, c'était pas si long que ça en fin de compte ^^ et oui ma démonstration était fausse, bien sur que 1,5 est positif ^^

Maintenant j'aurais besoin d'un confirmation pour la toute dernière question de cette exo, si c'est pas trop demander ... :

J'arrive à cet encadrement :
e.(n - 1/n) =< Vn =< e , avec n>0 et Vn suite définie par Vn=(1 + 1/n)^n
Est ce que de ça directement je peux dire que d'après la définition d'une suite convergente la suite Vn est convergente vers e car l'intervalle ouvert [e.(n - 1/n) ; e] contenant e contient tous les termes de la suite Vn à partir d'un certain rang n ?

Mais je ne comprends pas trop comment j'ai pu arriver à cet encadrement puisque je ne parle à aucun moment de cette histoire de "certain rang" qui est pourtant logique, enfin je sais pas trop comment appliquer cette définition en fait ^^
A la base lencadrement donné par l'exercice est :
0 =< e - Vn =< e/n

Merci encore pour tout, si cette question n'obtient pas de réponse tant pis, vous m'avez déjà bien aidée

[invitec053041c]

Bonsoir.
Il suffit plus simplement d'utiliser le théorème des gendarmes.
Ta suite Vn est encadrée par 2 suites convergeant vers e, elle converge donc aussi vers e.

[invite8965dcb5]

Les 2 suites ne convergent pas vers e, l'une oui, lautre converge vers -e, jai calculé les limites en + l'infini, donc utiliser le théorème des gendarmes ne sert pas à grand chose ici mais je me trompe peut-être...?

[invite7553e94d]

Bonjour.
Si alors convèrge vers e étant donné que converge vers 1.

Le théorème des gendarmes suffit. Bonne nuit.