Topologie

[invitebb921944]

Bonjour tout le monde !
J'aimerais savoir comment démontrer que l'espace vectoriel des fonctions f de classe C^1 sur [0,1] telles que f(0)=0 est de dimension infinie.

Je cherche aussi une démonstration claire du critère séquentiel de continuité (je n'ai rien trouvé de très clair sur google)


Peut-on utiliser la compacité pour justifier qu'un intervalle fermé de R n'est jamais homéomorphe à R ?

Un intervalle semi ouvert de R peut-il être homéomorphe à R ?

Sinon, on me dit de montrer de deux manières différentes que S^1 n'est pas homéomorphes à R, on peut dire que S^1 est compacte alors que R ne l'est pas.
On peut aussi dire que R moins un point n'est pas connexe alors que S^1 moins un point l'est. Ce que je ne sais pas prouver correctement, c'est que S^1 moins un point est connexe. Le fait que l'ensemble S^1 soit "d'un seul tenant" est il suffisant ? Ou dois-je dire qu'il est connexe par arcs pour en déduire sa connexité ?

Et une dernière chose, je n'arrive pas à démontrer que la norme max(|x+y|,|x+2y|) est équivalente à la norme |x|+|y| !

Merci d'avance.
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[invited5b2473a]

1) Considère la famille {x->x^n}_n>=0. Ce sont des fonctions C1 sur [0,1] vérifiant f(0)=0. Or si tu en prends un nombre fini k tel que a₁x^i₁+...a_kx^i_k=0
pour tout x. Alors ce membre de gauche est un polynôme qui donc est nul sur [0,1] donc est identiquement nul et donc les a_i sont nuls. Ainsi, noter famille est libre et par conséquent l'ev en question est de dimension infinie.

2)s'il existait un tel homéomrophisme f. Alors f([a,b]) est borné mais ne l'est pas!

3) pOur l'équivalence de norme, tu es en dimension finie.

[invitebb921944]

Merci !
Pour l'équivalence de normes, on me demande de donner des constantes explicites (en fait je dois écrire la double inégalité correspondante) et je n'y arrive pas !

[invited5b2473a]

1) max(|x+y|, |x+2y|) <= max(|x|+|y|, |x|+2|y|) <= 2*(|x|+|y|)

2) N(x,y) = max(|x+y|, |x+2y|) >= |x+y| et |x+2y|. D'où 2N(x,y) >= |x+y|+ |-(x+2y)| >= |y| et donc 3N(x,y) >= |x+y| + |y| >= |x|. Ainsi,
5*N(x,y) >= |x| + |y| >= |x+y|.

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