topologie

[christophe_de_Berlin]

Bonjour,

nouvelle question de topologie, quelqu’un peut-il me dire ce qu´est un sous-ensemble compacte?

Merci d´avance

christophe
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[Quinto]

Bonjour,
ca doit être marqué dans tout bon cours de topologie ou sur le net.

D'une manière générale un ensemble est compact si la topologie est séparée (T2 ou Hausdorf) et si de tout recouvrement d'ouverts, tu peux en extraire un sous recouvrement fini.
Dans les espaces métriques on montre que les 3 propositions suivantes sont équivalentes:
1-X est compact
2-X est séquentiellement compact (ie vérifie la propriété de Bolzano-Weierstrass)
3-X est précompact et complet

Dans le cas particulier de R^n (ou C^n ce qui revient au même) n fini, la compactié est équivalente à être fermé et borné.

[matthias]

Un sous-ensemble est compact si toute suite de ce sous-ensemble admet une suite extraite convergente (et elle doit converger dans le sous-ensemble).

Il existe aussi des définitions équivalentes plus topologiques sans utiliser de suites.

A noter : dans Rⁿ les compacts sont exactement les fermés bornés.

[EDIT: grillé ]