topologie

invitefa636c3d · 01/08/2004, 10h29

bonjour à tous;

en cherchant un exercice j'ai rencontre la notion de "topologie de la convergence simple" ;puis en cherchant la definition d'une topologie j'ai vu qu'on parlait aussi de topologie grossiere, discrète....

ma question est donc de savoir ce qu'est une "topologie" (j'ai seulement une définition mais je ne comprends pas grand chose..)
De plus modifie t-on les propriétés d'un espace en changeant de topologie? ...

j'aimerai bien en savoir un peu plus !
merci
jameso
A+

**Antikhippe** · 01/08/2004, 11h28

Bonjour jameso,

J'ai trouvé une définition assez simple sur Wikipédia (encyclopédie libre) :

La topologie, comme l'indique son étymologie, est l'étude des lieux. Elle s'intéresse donc à définir ce qu'est un lieu (on appelle cela un espace, même si ce n'est qu'un plan, ou une droite), et quelles peuvent en être les propriétés (le fait d'être d'un seul bloc, que ce bloc soit spongieux ou au contraire très compact [au passage, le mot compact a en mathématiques un sens différent de celui employé ici], etc).

En mathématiques, la topologie s'intéresse aux espaces topologiques et aux applications qui les lient, dites continues.

Elle permet de classifier les espaces, notamment les nœuds.

Elle s'intéresse aussi à leurs déformations.

En analyse, grâce aux informations qu'elle fournit sur l'espace ambiant, elle permet d'obtenir un certain nombre de résultats (existence et/ou unicité de solutions d'équations différentielles, notamment).

Les espaces métriques ainsi que les espaces vectoriels normés sont des exemples d'espaces topologiques.

**doryphore** · 01/08/2004, 11h31

Quand tu parles de topologie de convergence simple tu travailles déjà sur des espaces de fonctions: C'est à dire que les points sont des fonctions. Mieux vaut ne pas commencer par là.

Avant qu'on te réponde, il faudrait que l'on sache si tu as déjà travaillé sur des espaces métriques ou non.

**Quinto** · 01/08/2004, 11h45

Une topologie c'est un peu comparable à une structure en algèbre dans le sens où tu te donnes un ensemble, et des règles sur cet ensemble.

Une topologie c'est la donnée d'un ensemble X, et d'une partie O de X.
Les éléments de O sont appelés les ouverts de X et O doit vérifier:
-Pour tout élément O son complémentaire dans X est encore dans O (stabilité par passage au complémentaire)
-Tout union d'éléments de O est un élément de O. (stabilité par union)
-Toute intersection finie d'éléments de O est un élément de O (stabilité par intersection finie)

Après, si on a 2espaces topologiques (X,O) et (X,P) avec P qui est inclus dans O, alors on dit que la topologie (X,O) est plus fine que l'autre.
Ainsi, la topologie grossière est la moins fine que l'on puisse avoir sur un espace.
En fait c'est (X,{X,vide})

La topologie discrete c'est la topologie (X,P(X))

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite51f4efbf · 01/08/2004, 11h47

Normalement, avec la définition seule, tu ne fais pas grand chose en effet. L'idée est de généraliser la notion d'ouverts de $\text{[math]}$ , qui sont les ensembles dans lesquels tu peux, autour de chaque point, centrer une boule ouverte. Il s'agit d'un théorème connu que $\text{[math]}$ est ouvert, qu'une réunion quelconque (même infinie) d'ouverts de $\text{[math]}$ est un ouvert de $\text{[math]}$ , et même qu'une intersection finie d'ouverts de $\text{[math]}$ est un ouvert (par contre c'est faux pour les intersections infinies, par exemple il suffit de regarder $\text{[math]}$ où l'intersection est prise sur toutes les valeurs entières $\text{[math]}$ . Ainsi, pour généraliser, on va définir une topologie comme une collection d'ensembles possédant ces propriétés.

Allons-y donc : une topologie sur un ensemble $\text{[math]}$ est une collection $\text{[math]}$ de sous-ensembles de $\text{[math]}$ , appelés ouverts, contenant $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , et stable sous les réunions quelconques et les intersections finies. Un ensemble muni d'une topologie est appelé espace topologique, et les éléments d'un espace topologique sont appelés points. Comme exemple, on a bien sûr $\text{[math]}$ , ou même tout espace métrique $\text{[math]}$ où la topologie est définie de la manière suivante : $\text{[math]}$ est ouvert si pour tout point $\text{[math]}$ , il existe $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ .

Un autre exemple est le suivant : $\text{[math]}$ est quelconque, et $\text{[math]}$ . Cet exemple est dit topologie grossière. Si pour $\text{[math]}$ on prend l'ensemble des parties de $\text{[math]}$ , on a encore une topologie, appelée topologie discrète. On peut remarquer que la topologie grossière provient d'une métrique (n'importe laquelle !) mais que ce n'est pas le cas pour la topologie discrète (car les singletons sont ouverts). On dit que $\text{[math]}$ muni de la topologie grossière est métrisable.

Mais pourquoi cette généralisation, et quel intérêt ? Eh bien pour les fonctions de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ , tu as une définition de continuité : une fonction est continue en un point $\text{[math]}$ si quel que soit $\text{[math]}$ , il existe $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ , et une fonction est continue si elle est continue en tout point. Là encore, un peu de manipulation permet de montrer la chose suivante : une fonction est continue si, et seulement si, la préimage de tout ouvert est un ouvert. On replace ceci dans le cadre général : une application $\text{[math]}$ entre deux espaces topologique est dite continue si la préimage par $\text{[math]}$ d'un ouvert de $\text{[math]}$ est toujours un ouvert de $\text{[math]}$ . Une application est un homéomorphisme si elle est bijective, continue, d'inverse continue.

L'intérêt principal de l'homéomorphisme est qu'il établit une relation d'équivalence entre les deux espaces topologiques, et qu'il préserve toutes les propriétés qui s'énoncent seulement en fonction des ouverts : en effet la topologie de l'espace d'arrivée est l'image par l'homéo de la topologie de l'espace de départ, et réciproquement. Ainsi, deux espaces entre lesquels il existe un homéomorphisme sont égaux aux yeux du topologue. Par exemple, si je prends le cube centré en zéro et de diamètre quelconque, l'application $\text{[math]}$ l'envoie de manière homéomorphe sur la sphère. Ainsi, topologiquement le cube et la sphère sont identiques.

invitefa636c3d · 01/08/2004, 11h53

merci pour vos réponses;
j'étais en MP cette année et je rentre en licence maths l'année prochaine c'est pourquoi je m'intéresse d'un peu plus près à la topo

donc oui:je connais les espaces métriques (même si on a pas fait bcp de topo ),la convergence simple ,uniforme...

**Quinto** · 03/08/2004, 09h59

Envoyé par Quinto

Les éléments de O sont appelés les ouverts de X et O doit vérifier:
-Pour tout élément O son complémentaire dans X est encore dans O (stabilité par passage au complémentaire)

N'importe quoi, j'ai fait un mic mac de la définition d'une tribu et d'une topologie, il n'y a évidemment pas stabilité par passage au complémentaire dans les cas non triviaux (celà étant il peut arriver que certains éléments ouverts aient aussi leur complémentaire dans X ouvert, dans ce cas on dit que X n'est pas connexe)

Pour info et pour me corriger, si un ensemble appartient aux ouverts de X, son complémentaire dans X est dit fermé (de X)

invite51f4efbf · 03/08/2004, 10h29

Envoyé par Quinto

(celà étant il peut arriver que certains éléments ouverts aient aussi leur complémentaire dans X ouvert, dans ce cas on dit que X n'est pas connexe)

Et plus précisément un espace topologique est dit connexe si les seuls ensembles à la fois ouverts et fermés sont le vide et l'ensemble tout entier. C'est équivalent à dire que l'ensemble n'est pas la réunion de deux ouverts disjoints non vides, et la connexité prends toute son importance en regardant les applications localement constantes, qui sont constantes dans un ouvert connexe (ça permet notamment de montrer que toute fonction de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ différentiable à dérivée nulle est constante, en passant par le théorème des accroissements finis.

Bref, la connexité, c'est bon : mangez-en

inviteca3a9be7 · 03/08/2004, 12h54

Et la connexité (et la compacité aussi) est conservée par les fonctions continues ! Ce qui est pas (forcément) le cas des ouverts.

Trop forts les connexes

invitefa636c3d · 05/08/2004, 17h09

merci à vous pour toutes ces précisions;

j'ai bien compris ce qu'était une topologie mais concernant la "topologie de la convergence simple" ,je ne vois pas trop le lien avec la collection d'ouverts (si il y en a un bien sûr...?)

si vous pouvez (encore) m'éclairer sur ce dernier point...
amicalement
jameso
A+

inviteca3a9be7 · 05/08/2004, 19h03

Les espaces de fonctions peuvent, comme les autres, être munis de topologie (on parle d'analyse fonctionnelle - c'est trô bô en général). On peut mettre sur F^E (les fonctions de E dans F, F un espace topologique) une topologie (ensemble d'ouverts blah blah ....) telle que fn -> f (dans F^E donc) ssi fn(x) tend vers f(x) (dans F). C'est tout simplement ça, la topologie de la convergence simple.

Etrangement la topologie de la convergence simple est "moins simple" que celle de la convergence uniforme : elle est pas métrisable en général (= on peut pas mettre de distance qui la définit) en général (mais semi-metrique quand même si F est semi-métrique).

Ca se voit en licence je crois. Un peu de patience

**Quinto** · 05/08/2004, 19h19

Envoyé par µµtt

Etrangement la topologie de la convergence simple est "moins simple" que celle de la convergence uniforme

C'est pour celà qu'on l'appelle alors la convergence ponctuelle

invitefa636c3d · 06/08/2004, 19h55

salut,
stephen: tu dis que "la topologie grossiere provient d'une metrique mais que ce n'est pas le cas pour la topologie discrete (car les singletons sont ouverts)"

je ne comprends pas trop ta justification "car les singletons sont ouverts"
c'est peut-être (et même surement) parce que je ne vois pas le lien entre topologie et metrique...

si tu peux m'aider à y voir plus clair
merci
A+

**doryphore** · 06/08/2004, 20h06

Dans une métrique, tout ouvert contient une boule ouverte de rayon r>0, ce qui n'est bien sur pas le cas des singletons.

Donc, une topologie telle que tous les singletons sont des ouverts ne peut pas être issue d'une métrique.

inviteca3a9be7 · 06/08/2004, 20h37

>>Donc, une topologie telle que tous les singletons sont des ouverts ne peut pas être issue d'une métrique.

Ah, les certitudes de la jeunesse

Si on définit la distance d comme : d(x,y) = 1 si x!= y et d(x,y) = 0 si x=y, B({x}, 1/2) = {x} ouvert et d est bien une distance.

d offre aussi un exemple où l'adhérence de la boule ouverte n'est pas la boule fermée de même centre et même rayon

invite51f4efbf · 06/08/2004, 20h41

And Doryphore saves the day

invite51f4efbf · 06/08/2004, 20h54

Envoyé par µµtt

>>Donc, une topologie telle que tous les singletons sont des ouverts ne peut pas être issue d'une métrique.

Ah, les certitudes de la jeunesse

Si on définit la distance d comme : d(x,y) = 1 si x!= y et d(x,y) = 0 si x=y, B({x}, 1/2) = {x} ouvert et d est bien une distance.

d offre aussi un exemple où l'adhérence de la boule ouverte n'est pas la boule fermée de même centre et même rayon

Tu sais quoi ? Le pire c'est que j'ai fait ce calcul avant de poster

. Y'a eu cinq minutes entre les deux

**doryphore** · 06/08/2004, 21h07

Sinon pour la topologie grossière, est elle vraiment métrisable, j'ai un gros doute ?

inviteca3a9be7 · 06/08/2004, 21h27

Si l'ensemble est réduit à un seul élément oui

**doryphore** · 06/08/2004, 21h36

Ca me rassure, je savais qu'une des 2 topologies citées n'était en général pas métrisable et Stephen m'a donné des doutes.

On peut remarquer que la topologie grossière provient d'une métrique (n'importe laquelle !)

Je crois qu'il a du penser à des histoires de relation d'ordre sur les topologies ou à des continuités d'applications.

invite51f4efbf · 07/08/2004, 08h33

Voilà. Je refais à chaque fois le calcul pour savoir laquelle des deux n'est pas métrisable, et j'ai une mémoire d'à peu près cinq minutes :rouge de honte:

Du coup, j'ai trouvé sur le moment une raison pour laquelle la discrète ne serait pas métrisable. Ben c't'un échec. :rouge de honte:

Désolé pour le confusionnage (heureusement les gens veillent)

Amicalement,
Stephen

invitefa636c3d · 07/08/2004, 14h52

bonjour à tous;

merci pour vos reponses même si je n'ai pas tout saisi concernant les histoires de topologie discrete grossiere, metrisable ou pas metrisable mais bon ...

une dernière chose: quand on dispose d'un espace métrique (E,d) on peut le munir d'une structure d'espace topologique ;mais est-ce vrai dans tous les cas?

merci à vous en tout les cas

jameso
A+

inviteca3a9be7 · 07/08/2004, 15h34

>> mais est-ce vrai dans tous les cas?

Un espace métrique est toujours un espace topologique (historiquement on a commencé par là). La réciproque est fausse, l'espace topologique est dit "non métrisable".

Exemple classique (et "utile" pour une fois !) d'espace non métrisable : l'ensemble F^E, dès que E est non dénombrable.

**doryphore** · 07/08/2004, 15h38

Oui, bien sûr.
Grâce à ta métrique, tu peux définir sur E des ouverts:

Ce sont tous les sous-ensembles (les parties) O de E telle que pour tout $\text{[math]}$ , il existe une boule ouverte centrée en x qui soit incluse dans O.

On dit aussi que O est un voisinage de tous ses points.

Eh bien $\text{[math]}$ , c'est à dire E muni de la famille de tous ses ouverts (définis par ta métrique) est un espace topologique.

Et ( $\text{[math]}$ ) est la topologie sur E induite par ta métrique.

inviteca3a9be7 · 07/08/2004, 16h12

Jameso, il y a des très bons cours là :

http://www.les-mathematiques.net/pages/lanalyse.php3

invite7c294408 · 18/09/2005, 14h04

Bonjour a tous.

Je viens juste de tomber sur ce forum par hasard et j'ai remarque qu'il y avait des discussions interessantes sur la topologie.
Est-ce que quelqu'un peut m'expliquer pourquoi ou me dire si:
-toute fonction d'un ensemble E muni de la topologie grossiere dans F est constante
- toute fonction d'un ensemble E muni de la topologie discrete dans E est continue.

Ca parait tres simple mais j'ai comme l'impression qu' il ya quelquechose qui manque dans mes hypotheses. Priere de me donner conseil. Merci a vous.

PS Pour ceux qui etudient les varites differentiables j'ai une question:
Je suis tombe sur une exo dont les hypotheses sont les suivantes:
Soit un ressort mobile (sans frottement) pouvant se deplacer dans R3. Sachant que la longueur, L, du ressort est strictement comprise entre deux constantes L1 et L2, decrire l'espace de configuration de ce ressort comme produit de R3 et de deux autres varietes.

R3 ,e parait evident. Il me semble que la premiere variete depend du segment ouvert (diffeomorphe a S1), mais je n'arrive pas a trouver de deuxieme variete. J'ai besoin d'un coup de magie...

Finalement, un autre exercice qui me trotine dans la tete, pour ceux qui ont fait de l'algebre, l'anneau M2(R) contient deux ideaux bilateres: la matrice identite et M2(R) mais ce n'est pas un corps. Effectivement je suis d'accord que ce n'est pas un corps. Il suffit de trouver une matrice non-inversible...mais comment montrer que cet anneau contient que deux ideaux bilateres? Je suis un peu bloque. Comment decrire un ideal de M2(R)? Un ideal I (contenant i) d'un anneau A (contenant a ) est tel que ia resp. ai (si bilatere) appartient a I, n'est ce pas? Si on exclut M2(R) et la matrice identite , que reste t'il? Des sous ensembles de M2(R), des scalaires. Mais comment montrer que de tels ensembles ne peuvent pas etres des ideaux bilateres de M2(R)? Suffit-il de faire une disjonction de cas en regardant le resultat avec des matrices triangulaires, diagonales et contenant qu'un element? Ce qui me concerne c'est qu il y a "plein" de sous ensembles de M2(R). Comment tous les eliminer?

Je sais, je demande beaucoup mais J'ai remarque qu'il y avait plein d'etres intelligents sur ce forum et j'ai pense que peut-etre 'lun de vous pourrait eventuellement venir a la rescousse....

Je vous remercie d'avance

**christophe_de_Berlin** · 21/11/2005, 18h53

Les singletons sont ouvert?!

**martini_bird** · 21/11/2005, 19h10

Salut,

pour la topologie grossière, oui. Mais cette topologie est d'aucun usage (beaucoup trop d'ouverts, en fait le maximum).

Cependant, il existe des topologies (Zariski) ou des points ne sont pas fermés et sont denses dans l'espace! Mais bon, c'est une autre histoire...

Cordialement.

invitec9d83f1c · 22/11/2005, 18h41

Pardon messieur le moderateur mais petite correction, la topologie grossiere sur X est O={vide,X}.
la topologie egale a l'ensemble de toutes le parties de X c'est la topologie discrette (ou en effet tout est ouvert)

**martini_bird** · 22/11/2005, 18h48

Salut,

oui merci, les modos aussi peuvent se tromper (enfin surtout les autres

).

A noter que toutes composantes connexes d'un espace sont à la fois ouverte et fermée, a fortiori lorsqu'il s'agit d'un point.

Cordialement.

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