"f est continue" est équivalent à "l'image réciproque d'un ouvert par f est un ouvert" (c'est même l'une des définitions de "continu" qu'on peut trouver en topologie générale).Envoyé par tommmyb
Si E est muni de la topologie discrète dans E, cela signifie que toute partie de E est un ouvert.
Considère maintenant une fonction f de E dans E.
Soit O un ouvert.
L'image réciproque de O par f est elle un ouvert ?
Tu remarques alors qu'on peut généraliser le résultat :
Toute fonction d'un espace topologique E muni de la topologie discrète dans un espace topologique F est continue
En fait, c'est faux : La fonction identité est toujours continue d'un espace topologique dans lui même (1).
Pourquoi ? Prends un ouvert O, l'image réciproque de O par l'identité est O, qui est un ouvert.
L'image réciproque d'un ouvert par l'identité est un ouvert, donc l'identité est continue.
Ainsi, sauf si E est de cardinal 1, on a toujours une fonction continue non constante de E dans E.
(1) Attention toutefois, il est possible que l'identité ne soit pas continue de E muni d'une topologie T1 vers E muni d'une topologie T2.
Par exemple, on peut prendre l'espace E des fonctions continues et bornées. T1 = la topologie faible et T2 la topologie associée à la norme infinie.
Alors l'identité n'est pas continue de E muni de la topologie T1 vers E muni de la topologie T2
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