Topologie

[invited89c0c70]

Bonjour à tous,

J'ai un petit problème sur un exercice de topo. :

On pose S={1/n / n appartienne à N}, I=]1;2[, J=]2;3[, K=]3;4[interQ et X la réunion de ces 4 ensembles.

On me demande tout d'abord de trouver les points d'accumulations et les points isolés de X.

Sauf erreur de ma part (et là je n'ai rien compris ^^) j'ai trouvé comme point d'accumulations 1,2 et 3 et comme points isolés, les points appartenant à la réunion de S et K.
Le problème que je rencontre est que je les ai trouvé graphiquement mais je ne vois pas trop comment rédiger cela, et comment montrer que ce sont les seuls.

De même on me demande de calculer par exemple l'intérieur de X ou l'adhérence de l'intérieur etc... Je vois également graphiquement, ce que cela peut faire, mais au niveau de la rédaction je ne vois pas trop...

Merci à tous pour vos précieuses aides

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[invite8b04eba7]

Salut !

j'ai trouvé comme point d'accumulations 1,2 et 3

Il manque 0, qui est un point d'accumulation de S.

Pour la démonstration de ces choses-là, il faut faire un peu de cas par cas, en regardant chacun des ensembles. Par exemples, les points de I et J sont dans l'intérieur de X, donc ne peuvent être des points isolés, ou d'accumulation.

[invite35452583]

Bonjour,
sur le coup j'ai eu un doute mais j'ai été vérifié la définition d'un point d'accumulation qui est bien comme je pensais un point adhérent à X sans être isolé dans X ou autrement dit adhérent à X\{x}.
Ici, points d'accu={0}U[1;4]
Après en effet le cas par cas
0 est limite d'une suite de points de X (évidente)
les points x de [1;4] sont limite d'une suite de X\{x} (ce n'est pas très difficile à trouver et à écrire une fois que l'on s'est rappelé qu'il suffit de faire cela)
Pour les autres points, il y a ceux qui ne sont de toute façon pas dans l'adhérence de X puis les points s de S, il faut trouver un intervalle Is pour chacun d'entre eux contenant s mais aucun autre point de X.

Pour l'intérieur, on a int(X) inclus dans X (ça élimine déjà beaucoup de points)
Certains points sont trivialement à l'intérieur de X (il suffit de trouver un intervalle ouvert inclus dans x et contenant le ou les points voulus).
Seul les points de K sont plus problématiques selon le matériel théorique à disposition. Si il est connu qu'aucun intervalle n'est inclus dans Q (ne serait que pour une raison de cardinal) il n'est pas difficile de voir qu'aucun point de K n'est intérieur.
L'adhérence de l'intérieur est évident vu la "tête" de l'intérieur.

Sinon d'une manière générale sur R :
intérieur <->intervalles entièrement inclus
non intérieur<->point est limite de points du complémentaire
adhérence<->limite de points de l'ensemble (points d'accu : c'est un peu plus strict)
non dans l'adhérence<->intervalle entièrement inclus dans le complémentaire.

Après, avec un peu d'habitude mais il vaut mieux apprendre "à la main" avant, on peut utiliser des théorèmes qui accélèrent la recherche et la rédaction.