problème équa dif

[inviteb95ce036]

Bonjour,

J'ai quelques soucis avec les équations différentielles suivantes :
(E1) y"-2y' = x
(E2) y"-4y'+4y = x exp(2x)
(E3) y"-4y'+3y = x+1
(E4) y"+6y'+9y = exp(-3x)

Je n'arrive pas trouver la solution de la première et j'ai quelques doutes pour les suivantes.

Je trouve :
pour (E2) : yg(x)= (λx+μ) e(2x) + (1/4 x + α) x^2 e(2x)
pour (E3) : yg(x) = λ e(x) + μ e(3x) + 1/3 x + 7/9
pour (E4) : yg(x) = (λx + μ + 1/2 x^2) e(-3x)

Je sais que ça fait beaucoup mais j'espère que quelqu'un aura la gentillesse de m'aiguiller !!!

Merci beaucoup !
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[invite4b9cdbca]

Pour les autres je vérifierai plus tard.
Pour la première, tu as deux méthodes pour trouver la solution pourtant :
Soit en considérant l'équation caractéristique r²-2r=0
Soit en posant z=y'

Je te laise réfléchir un peu sur ça

[inviteb95ce036]

Merci pour ta réponse kron !

Pour la première, je trouve :

pour la solution générale de l'équation homogène :
yh(x) = λ+ μ e(2x)

pour la solution particulière :
yo(x) = -1/4 X^2 -1/4 X

Je suis pas trop sûre de mon coup !

En tout cas, merci pour tes indications !

[Nicolas666666]

Pour la solution générale c'est ça, je jette un oeil dès que possible sur la solution particulière.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4b9cdbca]

Hehe, tu devrais avoir plus de confiance en toi.
Si tu n'es pas sûre, reprends ta solution finale, soit :
y(x) = λ+ μ e(2x) -1/4 x^2 -1/4 x
Tu dérives une fois, puis deux.
Tu remplaces dans ton équadiff. Si ça marche, tu as gagné.
Tu peux aussi essayerla méthode en passant par une équation du premier ordre. Tu trouve la solution, il te restera plus qu'à l'intégrer. ça sera utile notamment quant tu auras des équations plus complexes genre :
(E) f(t)*y''(t) + g(t)*y'(t) = h(t)

Bonne continuation.

Kron

[inviteb95ce036]

Merci beaucoup tous les deux.

Maintenant que j'ai l'astuce pour vérifier mes solutions, j'attaque les autres

[Nicolas666666]

j'essaie depuis un petit moment de trouver une solution particulière, et je n'y arrivepas, comment fais-tu? je suppose par la méthode de la variation de la constante, mais je ne n'arrive à rien..

[invite4b9cdbca]

Tu essaies pour quelle équation ?
En général, la variation de la constante/des constantes ne s'utilise qu'en denier recours, parceque la méthode est sûre, mais très très bourrine.
En pratique, tu cherches une solution particulière de même forme que ton second membre.

1/Ton second membre est un polynôme
Alors ta solution particulière sera un polynôme

2/Exponentielle
Solution sous forme exp(at)*P(t) où P est un polynôme

3/Trigo exp(u*t)(P(t)*cos(v*t)+Q(t)*si n(v*t))
On applique le théorème de superposition et on passe en complexe en résolvant avec un second membre de la forme exp((u+i*v)t)*R(t)
où R est un polynôme.
Tu prends alors les parites réelles et imaginaires et tu sommes tes deux fonctions trouvées.

[Nicolas666666]

je tentais de trouver la solution particulière de la 1er equa. diff. sans succes. j'essaie avec ce que tu m'as dit. Merci de ton aide!

[Nicolas666666]

J'ai finalement trouvé, merci de ton aide, je n'avais pas la bonne méthode, je n'ai pa su retranscrire la méthode qu'on avais apris avec les equa. diff. d'ordre 1. (on n'a pas vu celle d'ordre 2, c'est pour cela que j'avais du mal) Encore merci!