Bonjour
Je me pose une question (pour des histoires de Laplacien sur des varietes). Et je n'arrive pas a trouver une quelconque piste...
Soient p et q deux points d'une variete differentiable riemanienne (a priori sans bords)
- existe t il toujours un chemin entre ces des deux points ?
- si oui, existe t il toujours une geodesique entre les deux ?
je seche un peu la
merci pour vos reponses !
Pour l'existence du chemin : oui à la condition évidente que la variété soit connexe.
En effet, le sous-espace des points que l'on peut joindre à un point p par un chemin (aussi régulier que la variété) est ouvert. C'est ouvert car localement (avec ou sans bords) on définit facilement de tels chemins. Toutes les composantes de ce type sont ouvertes et deisjointes. Donc par complément chacune est fermée. De telles composantes sont donc ouvertes et fermées dans un connexe donc sont confondues avec ce connexe. Il n'y en a donc qu'une autrement dit tous les points peuvent être jointspar un chemin de régularité aussi élevée que celle de la variété.
Pour les géodésiques je crois que oui (mais là c'est souvenir de séminaires), à vérifier.
Salut
merci pour ta reponse. effectivement, si c'est connexe, ca semble clair. Par contre je ne vois pas trop pour les geodesiques. Bon, comme c'est pour des problemes d'ingenieurerie, je vais supposer que ca existe
Merci ++
Salut
Les géodésiques, c'est juste les chemins qu minimisent une distance définie sur la variété, distance associée à celle de R^N via le changement de cartes de la variété, c'est ça ?
Je comprends pas trop comment ça pourrait ne pas exister ? Vous pourriez m'éclairer ?
Sinon, juste, pour savoir : Je fais des EDP, et je me demandais quelles sont les méthodes qu'on utilise en ingénierie pour résoudre des laplaciens. Méthode des éléments finis ? Comment on fait ça proprement sur une variété différentielle ?
__
rvz, toujours à l'ouest sur la géométrie différentielle
