topologie des formes quadratiques
Bonjour ,
je voudrai solliciter de l'aide pour montrer que l'ensemble des formes quadratiques de signature (p,q) sur un IR-espace vectoriel est un ouvert de l'ensemble des formes quadratiques .
je crois qu'on doit utiliser le fait qu'il existe un espace vectoriel de dimension p où la forme est définie positive et un autre de dimension q où elle est définie négative .
Merci.
ou alors le voir comme préimage par une certaine application continue d'un ouvert d'un certain espace topologique...
l'ensemble des matrices de rang p est un fermé
Salut !
j'ai pas l'impression que ca soit un espace vectorielle...
P=x1^2-2.x2^2-x3^2 est de signature (1,2)
Q=-2.x1^2+x2^2-x3^2 est aussi de signature (1,2)
mais leur somme vaut : -x1^2 - x2^2-2.x3^2 et est de signature (0,3)
et de toute facon, les espace vectorielle ouvert, c'est mal... (exercie : soit E un espace vectorielle vectorielle normé, les seuls sous espace vectorielle ouvert sont vide et E )
Une façon de faire, peut-être inutilement compliquée je ne sais pas.
Tu prends donc les deux sev A et B dont tu as parlé.
L'ensemble des formes dont la restriction à A est définie positive est un ouvert (pareil que pour les matrices définies positives : M est def pos ssi tous les mineurs principaux sont > 0).
Pareil pour les formes restreintes à B est définie négatives.
Ca fait deux ouverts dont l'intersection est non vide.
Maintenant une forme est entièrement définie (y compris sa signature !) par ses valeurs sur A et B.
Pour Ksilver :
L'ensemble des formes quardratiques surest un espace vectoriel réel, de dimension
L'ensemble
La forme nulle est la seule de signature (0,0), donc
Par contre, si
