Dev. en série entière de Arctan(x)

[invite40374348]

Bonjour,

Je souhaiterai de l'aide pour cet exo :

Montrer que , pour tout x dans [-1,1] :

Arctang(x) = ∑ (-1)^n * (x^2n+1)/(2n+1)
|_|
PS: ∑(de 0 à l'infini)

Merci d'avance
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[invite57a1e779]

Il faut commencer par intégrer le développement valable pour .

[invite40374348]

Merci pour votre réponse.

C'est ce que j'ai fait , je tombe facilement sur :
∑ (-1)^n * (x^2n+1)/(2n+1) mais x n'est pas dans l'intérvale fermé [-1,1] n'est ce pas ?

Pour que x soit dans l'intérvale [-1,1] , est ce que j'ai le droit de l'étudier dans les points : -1 et 1 ?

[invite57a1e779]

Une fois que l'on a le résultat sur ]-1,1[, on l'étend à [-1,1] par continuité.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite40374348]

D'accord, donc j'ai calculé les limites en -1 et 1

je trouve -∏/4, ∏/4

Donc finalement :
pour -1<x<1, on a :

Arctang(x) = ∑ (-1)^n * (x^2n+1)/(2n+1)

Puis-je conclure , qu'on a la même égalité sur l'intrevale [-1,1] ?

[invite57a1e779]

D'accord, donc j'ai calculé les limites en -1 et 1

Le problème n'est pas tant de calculer les limites que de prouver que et sont continues sur (la continuité en 1 suffit par imparité).