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PC : Série Entière



  1. #1
    Hakurra

    PC : Série Entière


    ------

    Bonjour,

    Alors j'ai un problème avec un calcul de somme d'une série entière...
    On a Vn(x)=ln(1+1/n)*x^n
    On note g sa somme là ou elle converge.
    J'ai pu démontrer facilement que g est définie sur [-1,1[, mais je dois maintenant calculer g(-1) et lim g(x) en 1 et c'est là que je bloque...

    Pour g(-1), j'ai tenté de séparer les termes pairs et les termes impairs et à la fin j'obtiens la somme pour n>=1 de ln(1-1/4n²). L'idéal ça serait de faire apparaitre une série télescopique mais j'y arrive pas...

    Pour la limite de g(x) en -1 je vois pas du tout comment m'y prendre...

    Un peu d'aide ?

    -----

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  3. #2
    bubulle_01

    Re : PC : Série Entière

    En gros tu as c'est ca ?
    Que se passe-t-il si tu écris que ?
    Dernière modification par bubulle_01 ; 30/12/2008 à 20h02.

  4. #3
    Hakurra

    Re : PC : Série Entière

    Ouep c'est bien ça
    Sinon, si j'écris que , je peux avoir du ln(k+1)-ln(k), mais j'ai pas de série télescopique (si c'est là dessus que tu veux m'orienter) à cause du xk...

    Sinon j'aurais g(-1)= - Somme( (-1)k+1 ln(k+1) + (-1)k lnk ) et je vois pas quoi faire de plus...

    PS : désolé si c'est pas très lisible je sais pas comment insérer les caractères spéciaux

  5. #4
    Nailuree

    Re : PC : Série Entière

    Je dois t'avouer que j'ai passé un temps fou sur ce probleme, en magouillant et compagnie. Bref Maple rend comme limite ln(2)-ln(Pi) ce qui n'est pas trivial donc bon j'ai passé l'expression a l'exponentielle et tu te retrouves avec un produit infini qui a une tete agreable mais dont le resultat qui est 2/Pi n'est toujours pas trivial. A moins de l'avoir vu en cours recemment je ne vois pas comment on peut penser (puis demontrer) au produit de wallis dont on peut trouver des explications là http://www.pi314.net/sitepdf/wallis.PDF.
    Apres il existe surement une astuce qui detruit le probleme mais là je ne la vois pas du tout.

    Bonne chance

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Thorin

    Re : PC : Série Entière

    A priori, une fois qu'on a démontré la formule de Stirling en cours, reconnaitre ici quelque chose de ressemblant aux intégrales de Wallis n'a pourtant rien de très difficile, on tombe presque directement sur l'expression...

    Et de toute façon, les intégrales de Wallis sont quelque chose que, je pense, chaque taupin voit au moins une fois en exo ou en DS en prépa...

    Brf, je poste quand meme une solution faite avec Wallis : une fois qu'on a bien remarqué que ça avait l'air de ressembler aux intégrales de Wallis, si je nomme la valeur de l'intégrale de wallis au rang n, on a directement :
    , ce qui donne directement la limite.
    Dernière modification par Thorin ; 31/12/2008 à 08h32.
    École d'ingénieurs + M1 Physique Fondamentale

  8. #6
    Thorin

    Re : PC : Série Entière

    Sinon, si on ne veut pas utiliser Wallis, je pense, mais je l'affirme sans aucune preuve, qu'on peut très bien se débrouiller avec la formule de stirling.
    École d'ingénieurs + M1 Physique Fondamentale

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  10. #7
    Thorin

    Re : PC : Série Entière

    Comme annoncé, voici ma preuve sans Wallis, en utilisant stirling :

    .

    Or , par stirling :


    D'où, en composant par , on a que la limite de la somme vaut
    École d'ingénieurs + M1 Physique Fondamentale

  11. #8
    Hakurra

    Re : PC : Série Entière

    Je vous remercie, je pense bien qu'il faut utiliser les intégrales de Wallis mais j'ai toujours quelques problèmes...

    Pour je comprends bien, mais comment alors calculer ?


    Et sinon , quelque chose que je comprends pas : apparemment on a g(1)=ln(pi/2) c'est bien ça ? Le problème c'est que j'ai montré avant que g n'est pas définie en 1
    C'est pourtant pas lim g(x) en 1 que tu as calculé, je me trompe ?

  12. #9
    Thorin

    Re : PC : Série Entière

    Il y a une erreur quand je mets ln(1+ 1/k)...c'est bien sûr (-1)^k.ln(1+1/k), ce que j'ai calculé ensuite...
    École d'ingénieurs + M1 Physique Fondamentale

  13. #10
    sadben2004

    Re : PC : Série Entière

    Citation Envoyé par Hakurra Voir le message
    Sinon j'aurais g(-1)= - Somme( (-1)k+1 ln(k+1) + (-1)k lnk ) et je vois pas quoi faire de plus...

    A partir de ce que t'as écris tu peux te ramener à (avec un facteur 2). le resulat est donné par le calcul de Thorin

    Pour g(1) c'est une somme télescopique tout simplement.
    Science sans consience n'est que ruine de l'âme

  14. #11
    Hakurra

    Re : PC : Série Entière

    merci beaucoup pour g(-1) c'est bon, on a donc ln(2/pi)

    Sinon pour , je pense pas qu'on puisse utiliser une série télescopique, puisque c'est bien une limite qu'on doit calculer et non g(1)

  15. #12
    Nailuree

    Re : PC : Série Entière

    T'as simplement pas le droit d'ecrire g(1) mais bon tu sais que la somme des ln(1+1/k) diverge vers +infini donc la limite en -1 est simplement +infini aussi

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