PC : Série Entière

[invite9e2c48e5]

Bonjour,

Alors j'ai un problème avec un calcul de somme d'une série entière...
On a Vn(x)=ln(1+1/n)*x^n
On note g sa somme là ou elle converge.
J'ai pu démontrer facilement que g est définie sur [-1,1[, mais je dois maintenant calculer g(-1) et lim g(x) en 1 et c'est là que je bloque...

Pour g(-1), j'ai tenté de séparer les termes pairs et les termes impairs et à la fin j'obtiens la somme pour n>=1 de ln(1-1/4n²). L'idéal ça serait de faire apparaitre une série télescopique mais j'y arrive pas...

Pour la limite de g(x) en -1 je vois pas du tout comment m'y prendre...

Un peu d'aide ?
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[bubulle_01]

En gros tu as c'est ca ?
Que se passe-t-il si tu écris que ?

[invite9e2c48e5]

Ouep c'est bien ça
Sinon, si j'écris que , je peux avoir du ln(k+1)-ln(k), mais j'ai pas de série télescopique (si c'est là dessus que tu veux m'orienter) à cause du x^k...

Sinon j'aurais g(-1)= - Somme( (-1)^k+1 ln(k+1) + (-1)^k lnk ) et je vois pas quoi faire de plus...

PS : désolé si c'est pas très lisible je sais pas comment insérer les caractères spéciaux

[invitef9f95d1e]

Je dois t'avouer que j'ai passé un temps fou sur ce probleme, en magouillant et compagnie. Bref Maple rend comme limite ln(2)-ln(Pi) ce qui n'est pas trivial donc bon j'ai passé l'expression a l'exponentielle et tu te retrouves avec un produit infini qui a une tete agreable mais dont le resultat qui est 2/Pi n'est toujours pas trivial. A moins de l'avoir vu en cours recemment je ne vois pas comment on peut penser (puis demontrer) au produit de wallis dont on peut trouver des explications là http://www.pi314.net/sitepdf/wallis.PDF.
Apres il existe surement une astuce qui detruit le probleme mais là je ne la vois pas du tout.

Bonne chance

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec317278e]

A priori, une fois qu'on a démontré la formule de Stirling en cours, reconnaitre ici quelque chose de ressemblant aux intégrales de Wallis n'a pourtant rien de très difficile, on tombe presque directement sur l'expression...

Et de toute façon, les intégrales de Wallis sont quelque chose que, je pense, chaque taupin voit au moins une fois en exo ou en DS en prépa...

Brf, je poste quand meme une solution faite avec Wallis : une fois qu'on a bien remarqué que ça avait l'air de ressembler aux intégrales de Wallis, si je nomme la valeur de l'intégrale de wallis au rang n, on a directement :
, ce qui donne directement la limite.

[invitec317278e]

Sinon, si on ne veut pas utiliser Wallis, je pense, mais je l'affirme sans aucune preuve, qu'on peut très bien se débrouiller avec la formule de stirling.

[invitec317278e]

Comme annoncé, voici ma preuve sans Wallis, en utilisant stirling :

.

Or , par stirling :


D'où, en composant par , on a que la limite de la somme vaut

[invite9e2c48e5]

Je vous remercie, je pense bien qu'il faut utiliser les intégrales de Wallis mais j'ai toujours quelques problèmes...

Pour je comprends bien, mais comment alors calculer ?


Et sinon , quelque chose que je comprends pas : apparemment on a g(1)=ln(pi/2) c'est bien ça ? Le problème c'est que j'ai montré avant que g n'est pas définie en 1
C'est pourtant pas lim g(x) en 1 que tu as calculé, je me trompe ?

[invitec317278e]

Il y a une erreur quand je mets ln(1+ 1/k)...c'est bien sûr (-1)^k.ln(1+1/k), ce que j'ai calculé ensuite...

[invite5ad8e560]

Sinon j'aurais g(-1)= - Somme( (-1)^k+1 ln(k+1) + (-1)^k lnk ) et je vois pas quoi faire de plus...

A partir de ce que t'as écris tu peux te ramener à (avec un facteur 2). le resulat est donné par le calcul de Thorin

Pour g(1) c'est une somme télescopique tout simplement.

[invite9e2c48e5]

merci beaucoup pour g(-1) c'est bon, on a donc ln(2/pi)

Sinon pour , je pense pas qu'on puisse utiliser une série télescopique, puisque c'est bien une limite qu'on doit calculer et non g(1)

[invitef9f95d1e]

T'as simplement pas le droit d'ecrire g(1) mais bon tu sais que la somme des ln(1+1/k) diverge vers +infini donc la limite en -1 est simplement +infini aussi