Série entière

**invite1237a629** · 14/01/2008, 19h20

Bonswar,

Alors on a une fonction :

$\text{[math]}$

Et on veut trouver sa série entière associée.

Et là, que faire ?

- on remarque qu'on a u'*u et on intègre ? En ce cas, on se retrouve avec le carré d'une somme, et on ne voit pas comment s'en dépêtrer...
- on connaît les séries entières associées à ln(1+x) et 1/(1+x). En ce cas, pourriez-vous m'expliquer en détail comment effectuer le produit de Cauchy ?

(on a trouvé $\text{[math]}$ , mais c'est môôôche)

Toujours par rapport au produit de Cauchy, comment s'y prendre lorsqu'on a une série entière avec des x^(2n) (par exemple) multipliée à une série entière avec des x^n ?

Mici, vous nous seriez d'une aide assez utile :P

**God's Breath** · 14/01/2008, 20h34

[QUOTE=MiMoiMolette;1488563]

Envoyé par MiMoiMolette

Alors on a une fonction :

$\text{[math]}$

Et on veut trouver sa série entière associée.

Et là, que faire ?

- on remarque qu'on a u'*u et on intègre ? En ce cas, on se retrouve avec le carré d'une somme, et on ne voit pas comment s'en dépêtrer...
- on connaît les séries entières associées à ln(1+x) et 1/(1+x). En ce cas, pourriez-vous m'expliquer en détail comment effectuer le produit de Cauchy ?

(on a trouvé $\text{[math]}$ , mais c'est môôôche)

C'est vrai que c'est pas très joli.
Dans certains cas, on pourrait envisager d'écrire $\text{[math]}$ , puis de dériver :

$\text{[math]}$

et $\text{[math]}$ est solution de l'équation différentielle linéaire $\text{[math]}$ , dont on cherche les solutions développables en série entière. Encore faudra-t-il pouvoir résoudre la relation de récurrence obtenue pour les coefficients...

Dans ton cas, le produit de Cauchy fournissant la valeur du coefficient $\text{[math]}$ en fonction de la somme partielle $\text{[math]}$ de la série harmonique, qui n'admet pas d'expression sympathique, il faut te contenter de ce résultat.

Envoyé par MiMoiMolette

Toujours par rapport au produit de Cauchy, comment s'y prendre lorsqu'on a une série entière avec des x^(2n) (par exemple) multipliée à une série entière avec des x^n ?

Mici, vous nous seriez d'une aide assez utile :P

Il faut introduire des coefficients $\text{[math]}$ dans la série qui ne contient que des termes en $\text{[math]}$ .
Si tu fournis un exemple, on peut te montrer comment ça marche pratiquement.

**invite1237a629** · 14/01/2008, 20h52

Hm, merci beaucoup =)

Pour la deuxième partie, si je la retrouve, je la mettrai.

Et pour la première, ça a déjà l'air plus joli avec l'équadiff...m'en vais explorer ça !

Merci encore

**God's Breath** · 14/01/2008, 20h57

Envoyé par MiMoiMolette

Hm, merci beaucoup =)

Pour la deuxième partie, si je la retrouve, je la mettrai.

Et pour la première, ça a déjà l'air plus joli avec l'équadiff...m'en vais explorer ça !

Merci encore

L'équation différentielle, c'est une idée à explorer dans d'autres cas.

Ici, il n'y a pas d'expression plus simple que celle obtenue par le produit de Cauchy, ce qui est déjà bien ; parfois, on n'a même pas d'expression du tout pour les coefficients de la série.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**invite1237a629** · 14/01/2008, 21h12

Et en ce cas, on a juste à dire que les coefficients sont définis par le produit de Cauchy ?

Enfin ce qui m'intrigue, c'est que cette fonction ne serait qu'un exercice d'application...Pourquoi serait-ce aussi compliqué... !

Pour l'équadiff, j'ai regardé le début, je vais me retrouver avec des $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ je crois :/ si j'suis un brin masochiste, je vais continuer ça

Et pour le produit de Cauchy avec des ^(2n) et ^n...je ne trouve plus l'énoncé ni le brouillon, dommage...

Merci encore,

**invite1237a629** · 14/01/2008, 21h33

^o^

$\text{[math]}$
et
$\text{[math]}$

C'est ben mignon, mais je crois que je me contenterai de ma somme partielle harmonique

**God's Breath** · 14/01/2008, 22h00

Envoyé par MiMoiMolette

^o^

$\text{[math]}$
et
$\text{[math]}$

C'est ben mignon, mais je crois que je me contenterai de ma somme partielle harmonique

Comme $\text{[math]}$ , tu as $\text{[math]}$ , d'où $\text{[math]}$ , puis $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ ...

Ce sont vraiment les bonnes valeurs ?

**invite1237a629** · 14/01/2008, 22h04

Euuuh... De prime abord, ça pourrait être bizarre, je n'ai pas vérifié en réalité... j'y vais de ce pas.

Edit : mwai, pour n=2 je trouve déjà 1/2 avec l'harmonique...
n=3 -> 5/6

Je vais remettre ça à demain

Encore M... ^^

**invite1237a629** · 14/01/2008, 22h08

Ah tiens...si je prends le dénominateur d'un terme et le numérateur du suivant, j'ai les bons termes

Si on décale d'un jour, la suite se décalera peut-être d'elle-même xD

Hop ! *bouton rouge*

**Gwyddon** · 15/01/2008, 09h32

Hello,

Pour ma part je trouve comme récurrence :

$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$ pour $\text{[math]}$

**Médiat** · 15/01/2008, 11h13

Envoyé par Gwyddon

Pour ma part je trouve comme récurrence :

$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$ pour $\text{[math]}$

Salut,
Je trouve :
$\text{[math]}$
et
$\text{[math]}$ pour $\text{[math]}$

J'ai bien dû me planter quelque part

**invite1237a629** · 15/01/2008, 11h54

On est trop forts

Bon...énième test cet aprèm, on verra ^^

**Gwyddon** · 15/01/2008, 12h32

Si ça ce n'est pas merveilleux ^^

Alors petite remarque : plus le nombre de gens qui trouvent un truc différent grandit, plus la probabilité que la bonne réponse soit dedans grandit aussi. On est donc sur la bonne voie

**Médiat** · 15/01/2008, 12h51

Envoyé par Gwyddon

$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$ pour $\text{[math]}$

Gwyddon ou comment faire compliqué quand on peut faire simple.

Tu ne pensais quand même pas que je ne vengerais pas, hein fiston !

**Gwyddon** · 15/01/2008, 12h52

Euh, alors c'est juste ce que j'ai trouvé ou c'est complètement bidon ?

mais qu'est-ce qui m'a pris de refaire des séries entières, je me le demande...

**Médiat** · 15/01/2008, 13h05

Envoyé par Gwyddon

Euh, alors c'est juste ce que j'ai trouvé ou c'est complètement bidon ?

En tout cas ma solution entraîne la tienne (et j'ai vérifié la mienne, merci Excel)

Envoyé par Gwyddon

mais qu'est-ce qui m'a pris de refaire des séries entières, je me le demande...

+1, mais comment ne pas répondre à MiMoiMolette ?

**Gwyddon** · 15/01/2008, 13h15

En effet ta solution implique la mienne... Mais je doute du retour

+1, mais comment ne pas répondre à MiMoiMolette ?

En effet

**Gwyddon** · 15/01/2008, 14h02

Envoyé par Gwyddon

En effet ta solution implique la mienne... Mais je doute du retour

En fait le retour nécessite l'invocation du théorème de Cauchy sur l'équadiff du départ je pense

Bref prenons la proposition de Médiat (qui se trouve par (1+x)f'(x)+f(x) = 1/(1+x) )

**invite1237a629** · 15/01/2008, 17h05

En effet,

En effet,

Et en effet

J'ai trouvé la même chose que le guidon (tout bien démontré et expliqué si vous voulez), sauf le coup du a1+a2=-1/2.
Après d'intenses réflexions bilatérales, mais chacun dans sa tête, nous avons conclu que... Ca ne mène à rien !

Merci à vous tous en tout cas =)

m'en vais chercher l'adresse du prof qui a fait l'exo, casser la baraque, prendre femmes et enfant en otage et...

**Gwyddon** · 15/01/2008, 17h22

Envoyé par MiMoiMolette

J'ai trouvé la même chose que le guidon (tout bien démontré et expliqué si vous voulez), sauf le coup du a1+a2=-1/2.

Cool alors, et pour le a1+a2=-1/2 j'ai réutilisé le a0+a1=1

Après d'intenses réflexions bilatérales, mais chacun dans sa tête, nous avons conclu que... Ca ne mène à rien !

Cool, c'est ça les maths

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