série entière complexe

[invitee75a2d43]

bonjour,

j´ai un problème á résoudre, il s´agit de la série:

S = Σ (e^(niΘ))/n n>= 1

j´ai une méthode mais je sais pas si elle est correcte, car je ne sais pas si elle peut être appliquée aux complexes.

Je pose X = e^(iΘ). donc la série devient:


S = Σ (X^n)/n n>= 1

C´est une série entière classique dont la somme est connue:

1/1-x = 1 + x +x^2 +... x^n n>=0

comme dans ma série il me manque le 1 devant (x^0)

j´écrit S = -1 + Σ (X^n)/n n>= 0

j´obtient S = 1/1-X - 1 = X/1-X

avec X = e^(iΘ) j´ai donc S = e^(iΘ)/(1-e^(iΘ))

Donc comme je disait, mon seul problème c´est que je ne sait pas si cette logique peut s´appliquer aux complexes.

Y a une erreur?

merci
-----

[invitee75a2d43]

pardon pardon pardon!!!
complètement gouré!!

Évidement il ne s´agit pas de 1/(1-x) mais de -ln(1-x)

Donc mon résultat tel que je l´ai exposé ne peut être que faut. C´est la fatigue...

Mais ma question subsiste: puis-je utiliser ces développements en séries usuels pour les complexes sans autre considération que le domaine de convergence?

Ai-je le droit de changer de variable comme je l´ai fait?

[invite4793db90]

Salut,

il faut que tu fasses attention au rayon de convergence de ta série entière: ici, c'est 1 et donc tu n'as pas d'informations a priori sur le cercle unité qui contient tes .

Si tu avais considéré des points dans le disque ouvert alors pas de pb.

Le plus simple pour cet exo est de démontrer la convergence à la main.

Cordialement.

[invitee75a2d43]

Le plus simple pour cet exo est de démontrer la convergence à la main.

Cordialement.

Tu veux dire par là ne pas passer par les "recettes" usuelles pour trouver R, du genre lim An/An+1?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4793db90]

Je pensais à plus simple encore:



Or on voit bien que quand , le terme peut faire n'importe quoi (prend par exemple )...

Le plus simple pour cet exo est de démontrer la convergence à la main.

Il fallait bien sûr comprendre étudier pas démontrer...

Cordialement.

[invite6b1e2c2e]

Je pensais à plus simple encore:

Si je ne m'abuse, la série est convergente par la transformation d'Abel, pour theta différent de 0 modulo 2Pi.
Par contre, sa somme, c'est une autre histoire, mais je pense que ça fait 0. Ca me fait un peu penser à Césaro... Peut-être que tu peux montrer qqc...

__
rvz

[invite6b1e2c2e]

Après réflexion, je pense que tu peux démontrer une convergence unifrome sur la série dérivée comme une fonction de theta sur tout compact de (0, 2pi).

Après, un théorème d'intégration plus ou moins classique devrait te donner ce que tu veux...

__
rvz

[invitee75a2d43]

Excuse moi mais je ne comprend pas cette réponse:
le terme général de ma série, c´est pas e^i*n*Θ, mais e^i*n*Θ/n

Sinon ça ne serait même pas la peine de parler de série entière, ce serait une série géométrique simple. Ou y a-t-il une nuance que j´ai pas compris dans ta réponse?

[invitee75a2d43]

Serait-il correcte pour prouver la convergence en tout e^i*n*Θ/n d´écrire:

Σ e^i*n*Θ/ n = Σcos(nΘ)/n + i * Σsin(nΘ)/n

ensuite on voit que chacune des suites cos(nΘ)/n et sin(nΘ)/n est le produit d´une suite bornée et d´une suite convergent vers 0, donc que la série partie réelle et la série partie imaginaire convergent.

Est-ce correcte? C´est une calcul peut-être un peu lourd et pas très élégant, mais ça marche non?

[invite4793db90]

Excuse moi mais je ne comprend pas cette réponse:
le terme général de ma série, c´est pas e^i*n*Θ, mais e^i*n*Θ/n

Sinon ça ne serait même pas la peine de parler de série entière, ce serait une série géométrique simple. Ou y a-t-il une nuance que j´ai pas compris dans ta réponse?

Salut,

désolé je n'avais pas compris. (les indices c'est _{n=0} et ^{\infty} en latex )

EDIT: c'est ceci qui m'a donc induit en défaut:

S = Σ (X^n)/n n>= 1

C´est une série entière classique dont la somme est connue:

1/1-x = 1 + x +x^2 +... x^n n>=0

[invite4793db90]

Serait-il correcte pour prouver la convergence en tout e^i*n*Θ/n d´écrire:

Σ e^i*n*Θ/ n = Σcos(nΘ)/n + i * Σsin(nΘ)/n

ensuite on voit que chacune des suites cos(nΘ)/n et sin(nΘ)/n est le produit d´une suite bornée et d´une suite convergent vers 0, donc que la série partie réelle et la série partie imaginaire convergent.

Est-ce correcte? C´est une calcul peut-être un peu lourd et pas très élégant, mais ça marche non?

La convergence vers 0 du terme général ne suffit pas à assurer la convergence de la série!

[invitee75a2d43]

pardon je voulais dire c´est le produit de la suite décroissante vers 0 1/n et d´une suite bornée donc c´est une série alternée non?

[invitee75a2d43]

quand vous écrivez des trucs en grafique, c´est avec TeX?

ou est-ce qu´on peut apprendre ce truc? parceque sinon effectivement, les formules sont un peu lourde et prettent á confusion...

[invitee75a2d43]

bon ben repardon: je crois avoir confondu un peu... évidement, ce n´est pas une série alternée, je viens de revoir la déf. d´une série alternée. Je croyais qu´il suffit que la série soit bornée, mais en fait, il faut aussi qu´elle change constament de signe.

[invitec314d025]

Je croyais qu´il suffit que la suite soit bornée, mais en fait, il faut aussi qu´elle change constament de signe.

D'où le nom "alternée
Sinon 1/n est le produit d'une suite décroissante de limite 0 (1/n) et d'une suite bornée (1), donc effectivement cette définition n'avait aucune chance de fonctionner.

[invitee75a2d43]

mais d´une façon générale, j´essaie de trouver la nature d´une telle série de terme général

Σ (x^n)/n quand x est un complexe.

on voit rapidement que R=1, mais mon problème c´est quand module(x) = 1

La divergence est évidente par exemple pour x = 1 mais par ex. si x = cos(Θ) + i*sin(Θ)

Le terme générale devient cos(nΘ)/n + i*sin(nΘ)/n

mais après par contre j´avance pas. Tous les critères que je connais échouent...

[invite6b1e2c2e]

Alors, après mûre réflexion :
On pose

Calirement, cette suite est bornée, uniformément en theta quand on travaille sur un compact de (0, 2 pi).
Ensuite,


Cela devrait te permettre de montrer la convergence uniforme sur tout compact de (0, 2 pi) de la série, via un critère de Cauchy.
Après, calculer la somme, c'est une autre histoire. Moi je ferai un truc du type regarder ce qui se passe sur le disque ouvert. Prendre x_n qui tend vers 1 par valeurs inférieures, et regarder ce que ça fait pour , à theta fixé. L'avantage, c'est que là, on peut faire des changements de variable comme tu as fait, et se ramener clairement à un log. (complexe !)

__
rvz

[invite4793db90]

Salut,

je ne te suis pas: si l'on a le rayon de convergence, alors on a la convergence pour tout compact à l'intérieur du disque ouvert, non?

Le problème ici, c'est la convergence sur le cercle: la somme vaut bien -Log(1-x) ou Log est la détermination principale (la série vaut 0 en 1), mais il y a peut-être plus élémentaire?

Cordialement.

[invite6b1e2c2e]

Ce que je dis juste, c'est que si je veux calculer la somme de la série, je vais essayer d'appocher mon complexe z de module 1 par un nombre complexe y de module < 1, parce que pour lui, je sais exactement ce que vaut ladite série. Après, il faut un argument de continuité de la série moche, et un autre sur le Log. Je pense pas que ça va poser des problèmes pour le Log. Par contre, pour la série c'est pas très clair. C'est pourquoi je propose en fait d'étudier la continuité de la fonction

Continuité au point t=1, bien sûr.
En fait, j'ai vaguement le souvenir d'un résultat qui dit que même si je considère une série entière de rayon de convergence R qui converge en un point de module R. Alors la fonction définie par la somme est continue en ce point sur un voisinage conique (coté intérieur du cercle évidemment); Notamment, on peut pas approcher ce point tangentiellement (i.e. sur le cercle) et clamer que la fonction va être continue. C'est faux à priori, même s'il ya des acs où ça arrive.

__
rvz

[invitee75a2d43]

merci RVZ, tu m´as donné le filon dont j´avais besoin: transformation d´Abel. J´avoue que j´en avais pas entendu parler, mais Internet...

Le terme général de ma série est le produit de la suite harmonique 1/n et de la suite e^nΘi dont le module est 1.
Le module de la série associée á e^nΘi est majoré par 2/mondule(e^nΘi -1).

Dont on peut applique la règele d´Abel, la série converge