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Développement en série entière



  1. #1
    rififi12

    Développement en série entière


    ------

    Bonsoir à tous voici mon problème, je n'arrive pas à écrire l'expression y=(ln(1+x)²) sous forme d'une série entière. On me demande de la déterminer à l'aide d 'une équation différentielle. en dérivant l'expression précédente j'obtiens: y'=(2/(1+x))*(ln(1+x)). J'obtiens don l'équation différentielle: y'-(2/(x+1))y²=0 En posat y=somme(anXn) je ne sais pas comment intégrer le ² dans la somme pour arriver à une expression de an. Merci par avance de votre aide

    -----

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  3. #2
    mehdi_128

    Re : développement en série entière

    Citation Envoyé par rififi12 Voir le message
    Bonsoir à tous voici mon problème, je n'arrive pas à écrire l'expression y=(ln(1+x)²) sous forme d'une série entière. On me demande de la déterminer à l'aide d 'une équation différentielle. en dérivant l'expression précédente j'obtiens: y'=(2/(1+x))*(ln(1+x)). J'obtiens don l'équation différentielle: y'-(2/(x+1))y²=0 En posat y=somme(anXn) je ne sais pas comment intégrer le ² dans la somme pour arriver à une expression de an. Merci par avance de votre aide
    bah le y^2 faut que t'utilises le produit de Cauchy je pense ....

  4. #3
    rififi12

    Re : développement en série entière

    Citation Envoyé par mehdi_128 Voir le message
    bah le y^2 faut que t'utilises le produit de Cauchy je pense ....
    merci mais je ne vois pas comment insérer le carré dans la somme a l'aide de cauchy, en fait je ne vois pas qu'elle relation utiliser merci de m'éclairer merci par avance

  5. #4
    mehdi_128

    Re : développement en série entière

    Citation Envoyé par rififi12 Voir le message
    merci mais je ne vois pas comment insérer le carré dans la somme a l'aide de cauchy, en fait je ne vois pas qu'elle relation utiliser merci de m'éclairer merci par avance
    Tapes produit de cauchy dans wikipedia !

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    MMu

    Re : Développement en série entière

    Plus simplement .. etc ..

  8. #6
    rififi12

    Re : Développement en série entière

    bonjour, merci pour l'info mais je crois plutot que l'on obtient :
    (x+1)y'(x)-2*ln(1+x)=0 sauf que la en remplacant y'(x) par somme de n=1 à +l'infini de an*n*x^(n-1) je ne vois pas comment obtenir l'expression du coefficient "an" merci de m'éclairer sur ce point

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  10. #7
    zapple

    Re : Développement en série entière

    Utilise plutôt le fait que y = ln(1+x)² = 2ln(1+x). La dérivée est simplement 2/(1+x). Tu connais le développement en série de 1/(1+x). Il suffit d'intégrer pour avoir ce que tu veux.

  11. #8
    rififi12

    Re : Développement en série entière

    Effectivement c'est bien la méthode la plus rapide !! je n'y avais pas pensé par contre le problème est que l'on me demande de passer par une équation différentielle donc je ne peux pas réponde en utilisant cette méthode auriez vous une idée comment faire à laide de ma répons eprécédente ?

  12. #9
    zapple

    Re : Développement en série entière

    C'est pareil... Si tu veux, écris : , c'est une équation diff. Et résoudre cette équation diff, c'est trouver y, soit en intégrant : . Tu développes ensuite 1/(1+x) en série entière et tu intègres.

  13. #10
    rififi12

    Re : Développement en série entière

    ok je te remerci beaucou^p j'ai beaucoup cherché pour en fait quelque chose de simple merci encore j'aurai encore un petite derniere question comment faut il s'y prendre pour trouver le dse de (ln(1+x)/(1+x)) car je vois pas la méthode à utiliser merci encore

  14. #11
    zapple

    Re : Développement en série entière

    Le dse ? Tu veux dire ln(1+x)² = 2ln(1+x) ? Si c'est ca, ben tu sais que ln(ab) = ln(a) + ln(b)

  15. #12
    rififi12

    Re : Développement en série entière

    non désolé en fait c'était un autre exercice en fait on me demande de trouver le dse de (ln(1+x)/(1+x))et je ne vois pas par ou partir
    merci beaucoup de m'aider

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  17. #13
    zapple

    Re : Développement en série entière

    Ha désolé, j'avais mal lu. Tu veux faire un DL de ln(1+x) sur (1+x). Ben tu fais un DL de ln(1+x) obtenu précédemment, un DL de 1/(1+x) puis tu fais le produit des deux DL.

  18. #14
    rififi12

    Re : Développement en série entière

    je crois que l'on a pas le droit de multiplier entre eux deux développements en série entière non ?

  19. #15
    zapple

    Re : Développement en série entière

    Bien sûr que si. Tu peux faire un quotient aussi. Tu as du voir cela en cours normalement.

  20. #16
    rififi12

    Re : Développement en série entière

    donc si je comprends bien on prend le dse de ln (1-x) qui est -somme ((1/n)x^n puis le dse de (-(1/(1-x))) qui est -sommex^n et puis on multiplie ces deux sommes entre elles ?

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