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Développement en série entière



  1. #1
    MiMoiMolette

    Développement en série entière


    ------

    Bonjour,

    Voilà, tout est dans le titre... on cherche la série entière associée à en 1.

    D'abord, qu'est-ce que cela change que ça soit en 1 ou en 0 ?
    Est-ce qu'on pourra rechercher tel que la série soit ?
    Parce que ça, on arrive à peu près à le trouver...

    Sinon, on pensait transformer en exp((x-1)²)/e et puisqu'on connaît le DSE de l'exponentielle...

    Ou bien écrire ça sous forme exp(x²)*(exp(-x))²

    Et est-ce qu'on peut garder les combinaisons (celles qu'on trouve dans le binôme de newton je crois) dans a_n ?

    En gros, comment résoudre ça ? ^^


    (question annexe : comment montrer qu'une fonction est C1 ?)

    Merci...

    -----
    Dernière modification par MiMoiMolette ; 20/12/2007 à 09h46.
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  3. #2
    MiMoiMolette

    Re : Développement en série entière

    En fait, je crois qu'on a trouvé :

    Quelqu'un aurait-il le courage de nous dire si c'est bon ? :/ (on est passés par une équa diff puis indices pairs/impairs, mais on n'arrive pas à vérifier le résultat ou on ne sait pas comment le faire ^^)

    Et il reste toujours la question pour le développement en 1 : il faut bien écrire (x-1) ?
    Dernière modification par MiMoiMolette ; 20/12/2007 à 10h12.
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  4. #3
    Ksilver

    Re : Développement en série entière

    Salut !


    chercher le dévelopement d'une fonction au voisinage de a, c'est aussi chercher le dévelopement en 0 de f(a+h).


    donc ici tu dévelope f(h+1)=exp((h+1)²-2h-2)=exp(h²-1)=exp(h²)*exp(-1) =exp(-1) *somme des h^(2n)/n!

    apres tu peut poser x=1+h et tu as :

    f(x)=exp(-1)*somme des (x-1)^(2n)/n!

  5. #4
    zapple

    Re : Développement en série entière

    A moins que je ne me trompe, je pense que ton problème c'est d'exprimer la fonction sous la forme d'une série entière. Après quand tu dis en 1, ca doit vouloir dire en série entière de (x-1). Pourquoi en 1 et pas en zéro, ben il faudrait sans doute étudier le rayon de convergence. Mais bon, ce n'est pas forcé : tant que ca appartient au rayon de convergence, tu peux décider de développer ca en (x-c) (un point c tel que |x-c|< R le rayon de convergence).

    On sait que si une fonction f(x) possède un développement en série de puissance de (x-c), c'est-à-dire si f(x) peut s'écrire sous la forme



    alors . Donc f(x) aura la forme

    .

    Pour ta fonction il te suffit de calculer les dérivées successives, et les f(1), f '(1),...

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    MiMoiMolette

    Re : Développement en série entière

    Merci pour les explications pour 1 !

    En fait, on le cherche en 1 parce que c'est l'énoncé. Une fois qu'on a trouvé a_n, il faut montrer que 1 appartient au rayon de convergence, n'est-ce pas ?

    f(x)=exp(-1)*somme des (x-1)^(2n)/n!
    Et - si tu as le temps d'y réfléchir =) - d'après toi, ça pourrait nous mener quelque part ? Parce qu'on doit essayer d'obtenir (x-1)^n et ça pose pitit problème pour avoir 2n! en bas ^^'

    Concernant les dérivées successives...oki, j'étudierai cette piste tout à l'heure pour voir si on a le même résultat, c'est en effet plus simple comme ça =)

    Encore merci
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  8. #6
    Ksilver

    Re : Développement en série entière

    euh non il y a confusion : "Une fois qu'on a trouvé a_n, il faut montrer que 1 appartient au rayon de convergence" ce que tu dis est un peu absurde : "1" appartiens forcement au disque de convegrence : c'est le centre du disque. c'est comme si tu demandais pour un dévelopement usuelle (en 0) si 0 est dans le disque de convergence !


    je comprend pas bien ta question quand tu dit : "
    Et - si tu as le temps d'y réfléchir =) - d'après toi, ça pourrait nous mener quelque part ? Parce qu'on doit essayer d'obtenir (x-1)^n et ça pose pitit problème pour avoir 2n! en bas ^^'"



    pour les dérivé succesive, c'est tres souvent une tres mauvaise méthode : en géneral le calcule d'une dérivé n-iemme est qqch d'absoluement horrible, alors qu'on arrive meme à obtenir qqch de plus ou moins explicite pour des fonction relativement complexe...

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  10. #7
    zapple

    Re : Développement en série entière

    Ben tu peux essayer de trouver le rayon de convergence si tu veux. Mais par hypothèse 1 doit appartenir au rayon de convergence, mais bon tu peux toujours étudié.Perso, je l'ai pas fait.

    Après j'ai fait un rapide calcul, et il semble que les dérivées d'ordre impair s'annulent toutes au point 1; et les dérivées d'ordre pair semble s'écrire sous la forme n/e où n est l'ordre de la dérivée (là je ne suis pas allé très loin pour le vérifier vraiment).

    La réponse que tu donnes est celle que t'a fourni le bouquin ou ton prof ? Si oui, ben j'ai pas trouvé ca

    @Ksilver : il n'est pas forcément utile de calculer toutes les dérivées. On calcule les premiers, et on voit en général que ca s'écrit sous une forme qui se répète de manière assez claire.

  11. #8
    zapple

    Re : Développement en série entière

    Rajout : j'ai oublié de prendre en compte le n! dans les coefficients a ... mais bon ca ne change pas grand chose. A toi de calculer

  12. #9
    Ksilver

    Re : Développement en série entière

    @Ksilver : il n'est pas forcément utile de calculer toutes les dérivées. On calcule les premiers, et on voit en général que ca s'écrit sous une forme qui se répète de manière assez claire.
    certe, ceci dit moi il ma fallut une trentaines de secondes environ pour donner le dévelopement en série entière. il faut beaucoup plus de temps que ca pour trouver une conjecture sur la forme de la dérivé n-iemme ... soit dit en passant celle que tu donne me semble fausse, et dans tous les cas pas suffisente pour une récurence : pour pouvoir faire récurence il faudrait que tu ai une expression 'partielle' de la dérivé n-iemme pas seulement ca valeur au point... sinon tu peut la redérivé... en pratique la formule de taylor sert plutot à calculer la dérivé à partir du dévelopement en série. la chemin inverse ne sert que sur des points théorique.

  13. #10
    MiMoiMolette

    Re : Développement en série entière

    Ben le résultat qu'on a donné, c'est celui qu'on a trouvé par des calculs.

    En gros, on a dérivé et on a trouvé que y' = 2(x-1) y

    De là, on tire une relation entre a_n+1 et a_n-1.
    On prend le cas où n est pair, celui où il est impair. Pour l'un des deux, ça s'annule (a_0 nul, a_1 = 1).
    Et après, on réinjecte.

    @ ksilver : le problème, c'est que dans ta formule, on a des (x-1)^2n alors qu'on voudrait plutôt (x-1)^n, non ?

    Ok pour l'appartenance au rayon de convergence, c'est vrai que c'était stupide de poser ça :/ Il faut juste montrer que le rayon de convergence n'est pas nul, c'est ça alors ? =^^=

    Si je regarde la méthode de la formule de taylor, je pense qu'on ne trouvera pas pareil... Mais par contre, je ne vois pas pourquoi il faut éviter de s'en servir ?

    Ah voui, j'ai lu aussi dans un bouquin qu'il ne fallait utiliser les équadiff qu'en dernier recours... Pourquoi ? oO

    Merci
    Dernière modification par MiMoiMolette ; 20/12/2007 à 13h19.
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  14. #11
    Ksilver

    Re : Développement en série entière

    En effet il faut vérifier que le rayon de convergence est non nul, mais ici il est infinit donc ca pose pas de probleme (on a une série en a^n/n!... )


    sinon oui on a un dévelopement en (x-1)^2n au lieu de (x-1)^n : ca veut juste dire que tous les terme d'ordre impaire sont nul, c'est comme quand tu dévelope un cosinus en 0, tu trouve somme des (-1)^k*x^2k/(2k)!


    "Si je regarde la méthode de la formule de taylor, je pense qu'on ne trouvera pas pareil... Mais par contre, je ne vois pas pourquoi il faut éviter de s'en servir ?"

    ah si on doit trouver pareil, ne serait-ce que par unicité du dévelopement en série entière... mais je pense que si tu essai tu mettre tous seul le doigt sur la raison pour laquelle il ne faut pas l'utiliser : ca fait des calcules infernaux ! (essai un peu de calculer la dérivé n-iemme de cette fonction, ca va pas etre baux à voir, personellement si je devait le faire je chercherait plutot à la déveloper en série au voisinage d'un point a quelconque, c'est moins difficile...)


    Les équadiffs c'est une methodes tres puissantes, ici je trouve qu'elle est pas vraiment justifié : le calcule que j'ai fait quelques postes plus haut est à priori beaucoup plus simple (non ?). apres je vois pas trop pourquoi il ne faudrait l'utiliser que en dernier recours...

    enfait si elle à un gros défaut : elle ne prouve pas que la fonction est bien DSE. elle permet juste "en supposant que la fonction est dévelopable en série entière" de calculer les coeficients du dévelopement. la methode usuelle est ensuite de :
    1) montrer que la série qu'on obtiens à un rayon de convergence non nul.
    2) montrer que la somme de la série qu'on obtiens est bien solution de l'équation différentielle.
    3) en déduir par un théorémé d'unicité des solution adapté (dans ton cas, c'est cauchy-Lipschitz) que la somme de la série est forcement ta fonction.

    ca fait une démarche un peu fastidieuse dont on à vite fait d'oublier qu'elle est absoluement neccesaire, à part la deuxieme étape, il n'y à rien d'automatique : on peut trouver de nombreux exemple pour lesquelles la série qu'on trouvera aura un rayon de convergence nul, ou pour lesqu'elles l'équation ne vérifira pas les hypotheses de cauchy-Lipschitz et donc ou la somme obtenue pourra etre différente de la fonction de départ.

  15. #12
    MiMoiMolette

    Re : Développement en série entière

    Merci pour cette longue (et intéressante) explication

    Enfin ça me pose toujours un problème pour le coup du (x-1)^2n... j'ai compris l'exemple du cosinus, mais cela me gêne dans le sens où en bas, on n'a pas (2n)!, mais n!
    Et il faut pouvoir démontrer que les an, pour n impair, sont nuls...

    'fin je dois m'embrouiller ^^'

    merci pour tout
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  17. #13
    Ksilver

    Re : Développement en série entière

    ba c'est comme quand tu dévelope un exp(x²) ca fais somme des x^(2n)/n!

    ca veut dire que les dérivé d'ordre impaire sont nul et que la dérivé d'ordre 2n vaut (2n)!/n! (et si tu veux le trouver par un calcule directe... bon courage ! c'est typiquement un exemple ou la formule de taylor ne donne rien de simple ^^ )

  18. #14
    MiMoiMolette

    Re : Développement en série entière

    Ah oui...vu comme ça

    Bon et comment vérifier si notre résultat est juste ou faux ? faire un parallèle entre x^2n/n! et un truc avec e ou 2^n, c'est chaud :/
    - Je peux pas, j'ai cours
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  19. #15
    Ksilver

    Re : Développement en série entière

    y a pas de 2^n, le résultat c'est (1/e)*(x-1)^(2n)/(n)!

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