Exercice de proba

[invitee0742f5d]

Bonsoir, et bonne année (^_^)
alors j'ai un exercice de proba, et je sais même po comment le cerner .

Les coefficients a, b ,c de l'équation ax²+bx+c=0 sont détermines par le jet d'un dé a 6 faces . Déterminer la proba que l'équation ait :
Des racines réelles
Des racines complexes
Des racines rationnelles
merci de m'aider
-----

[invitebe6c366e]

pour les 3 types, il suffit simplement de regarder la valeur de
Si est négatif, c'est complexe
Si est un carré (0 inclus), c'est rationnel
Si est positif mais pas un carré, c'est réel

J'entends ici qu'une racine rationnel est un nombre rationnel, racine réel est un nombre irrationnel (car sinon on doit inclure les possibilités de celle rationnel) et racine complexe est un nombre complexe avec une partie imaginaire non nulle (car sinon la prob serait 1!)

[Jeanpaul]

Subtil comme exo car a, b et c sont des entiers entre 1 et 6.
Déjà on peut voir qu'il y a des combinaisons de a-b-c qui annulent le discriminant. Un exemple : 1-2-1 mais je te laisse en chercher d'autres.

Si j'étais toi, j'écrirais un petit programme qui pour chaque combinaison de a-b-c donne la valeur du discriminant. Ce n'est pas sorcier sur Excel ou sur calculette.

[invitee0742f5d]

on peut prendre plus généralement
-complexe aucune condition
-réel juste b²-4ac >=0
-rationnel b²-4ac > et carré .

aussi aurons ns pr complexe : p(S)= 1 (car qlq soit : a,b,c on aura tjrs une solutions )
pour réel : p(S)= faut que( b² >= 4ac )donc on fixant b /*se qui n'est po une solution fiable */
quand b=1 => p(s)=0
quand b=2 => a =1 , c=1 p(s)= 1/6³
quand b=3 => a=1 & b=1 ,a=1 & b=2 et vice versa p(s)=4/6³
quand b=4 => les cas précédents + a=3 & b=1 , a=4 & b=1 p(s)=8/6³
quand b=6 ........................p(s)=1 6/6³
donc on aura 6 cas au total en fixant b et je parle po du cas de "solutions rationnels", je crois po que la solution soit aussi inhumaine donc je suis dans le faux aider moi

[A voir en vidéo sur Futura]

[Jeanpaul]

Intuitivement, je comprendrais que "solution complexe" signifie "solution non réelle", donc la probabilité n'est pas de 1.
Mais tu devrais déjà chercher les solutions rationnelles. Par exemple 1-3-2 en donne une, il faut tâtonner un peu.

[invitee0742f5d]

c'est vraie,mais on sachant que le réel est un cas particulier du complexe ...
On peut aussi prendre comme vs dites: p(solution complexe) = nonp(solution réel) ; Je vais travailler votre premiere idée en commençant par les rationnels on verra se que ça va donner merci

[invite35452583]

on peut prendre plus généralement
-complexe aucune condition
-réel juste b²-4ac >=0
-rationnel b²-4ac > et carré .

aussi aurons ns pr complexe : p(S)= 1 (car qlq soit : a,b,c on aura tjrs une solutions )
pour réel : p(S)= faut que( b² >= 4ac )donc on fixant b /*se qui n'est po une solution fiable */
quand b=1 => p(s)=0
quand b=2 => a =1 , c=1 p(s)= 1/6³
quand b=3 => a=1 & b=1 ,a=1 & b=2 et vice versa p(s)=4/6³
quand b=4 => les cas précédents + a=3 & b=1 , a=4 & b=1 p(s)=8/6³
quand b=6 ........................p(s)=1 6/6³
donc on aura 6 cas au total en fixant b et je parle po du cas de "solutions rationnels", je crois po que la solution soit aussi inhumaine donc je suis dans le faux aider moi

Ce n'est guère difficile en effet mais il y a des erreurs.
b=3, a=c=1 (1 cas {a,b}={1,2} (2cas) total : 3 cas et non 4.
b=4 {a,b}={4,1} est exclu (d'ailleurs cette paire fonctionne de la même manière que {2,2})

Il y a peu de choses à regarder en fait, on doit regarder le signe de b²-4ac avec b²<=36, donc pour avoir b²-4ac>=0 il faut que ac<=9.
A regarder le nombre de possibilités pour ces nombres relativement petits, ça va donc très vite.
1 : 1
2 : 2
3 : 2
4 : 3
5 : 2
6 : 4
7 : 0
8 : 2
9 : 1

Il n'y a plus qu'à traiter cas par cas pour les 6 valeurs possibles pour b.

[invitee0742f5d]

Ce n'est guère difficile en effet mais il y a des erreurs.
b=3, a=c=1 (1 cas {a,b}={1,2} (2cas) total : 3 cas et non 4.
b=4 {a,b}={4,1} est exclu (d'ailleurs cette paire fonctionne de la même manière que {2,2})
.

j'ai po trop compris pourquoi : le {a,b}={4,1} est a exclure vu qu'elle vérifie 4²<=4*4*1
oui, j'ai fait bcp d'erreur dans se que j'ai mis précédemment, notamment
p(s)=4/6³ qui en la corrigeant devient : p(s)=3/6², et aussi c'est la probabilité que la solution soit réel si b=1 ; donc ça répond po a la question au final

[invite35452583]

j'ai po trop compris pourquoi : le {a,b}={4,1} est a exclure vu qu'elle vérifie 4²<=4*4*1

Oui je me suis trompé (c'est parce que je traitais les 3 cas en meême temps), ceci rétabli il manque la possibilité a=c=2.

oui, j'ai fait bcp d'erreur dans se que j'ai mis précédemment, notamment
p(s)=4/6³ qui en la corrigeant devient : p(s)=3/6², et aussi c'est la probabilité que la solution soit réel si b=1 ; donc ça répond po a la question au final

OK pour la correction de p(S)=3/6³ au lieu de 4/6³, mais que veux-tu dire pour b=1 ? les solutions sont toujours complexes non réelles dans ce cas b²-4ac=1-4ac<=1-4x1x1=-3<0.
Et je ne comprends pourquoi tout d'un coup tu doutes que ça ne répond pas à la question.
Tu calcules le nombre de cas pour (a,b,c) pour lesquels les solutions sont de tellle ou telle nature algébrique, chaque cas ayant une probabilité d'1/6³ donc tu peux en sommant les 6 cas possibles pour b fixé obtenir le résultat voulu.

[invitee0742f5d]

je délirais, alors j'ai trouver en tout
p(S)=(0+1+3+8+12+15)/6³ =39/216 la proba de trouver une solutions réel . C'est trop simple enfin de compte .... merci bcp
pour le complexe ça va donner p(S)=1-39/216
pour le rationnel je vais essayer de sommer avec une condition de plus.

[invitee0742f5d]

+ pour rationnel avec la condition du carré on aura : p(S)=(0+1+2+5+7+7)/6³ = 22/216
voilà la solution complète merci bcp pour votre aide

[invite35452583]

Oui sauf que je ne suis+ pas d'accord avec ce que tu trouves
pour réel j'obtiens 0+1+3+8+14+17=43
pour rationnel 0+1+2+5+7+5=20
On différe sur les cas b=5 et b=6.

[invitee0742f5d]

voilà le calcul c'est très important, disait mon prof au lycée :"présenter un exercice sans tout proprement calculer c'est comme apprendre a l'enfant a écrire, avant qu-il ne parle...Apprendra t-il ? "

réel:
pour b= 5 -> {a,c}={{1.1},{1,2},{2,2},{1,3} ,{2,3},{1,4},{1,5},{1,6}}
ce qui donne 14 cas .
pour b=6 ->{a,c} = {{1.1},{1,2},{2,2},{1,3},{2,3} ,{3,3},{1,4},{2,4},{1,5},{1,6} ,{1,7},{1,8},{1,9}}
22 cas .

rationnel :
pour b=6 -> {a,c}={{2,3},{3,3},{2,4},{1,5} ,{1,6},{1,8},{1,9}}
finalement nous auront :
0+1+3+8+14+22=48 en réel
0+1+2+5+7+12=27 rationnel
et dieu sait si c'est juste, c'est trop facile de faire des erreurs avec se genre d'ex.

[invite35452583]

voilà le calcul c'est très important, disait mon prof au lycée :"présenter un exercice sans tout proprement calculer c'est comme apprendre a l'enfant a écrire, avant qu-il ne parle...Apprendra t-il ? "

réel:
pour b= 5 -> {a,c}={{1.1},{1,2},{2,2},{1,3} ,{2,3},{1,4},{1,5},{1,6}}
ce qui donne 14 cas .
pour b=6 ->{a,c} = {{1.1},{1,2},{2,2},{1,3},{2,3} ,{3,3},{1,4},{2,4},{1,5},{1,6} ,{1,7},{1,8},{1,9}}
22 cas .

Un dé à 6 faces avec un 7, un 8 et un 9
Il reste 10 combinaisons dont 3 "doubles" donc on retrouve le 7x2+3=17 annoncé.

rationnel :
pour b=6 -> {a,c}={{2,3},{3,3},{2,4},{1,5} ,{1,6},{1,8},{1,9}}
finalement nous auront :
0+1+3+8+14+22=48 en réel
0+1+2+5+7+12=27 rationnel
et dieu sait si c'est juste, c'est trop facile de faire des erreurs avec se genre d'ex.

6²-4x6=12 un carré parfait
donc (2,3) et(1,6) sont exclus, il n'y a toujours pas de face "8" ou "9", il ne reste donc que {3,3} {2,4} et {1,5}, soit 22x2+1=5 comme annoncé.