Nature et somme d'une série en arctan

[invitea289bdd5]

Bonjour à tous

j'ai l'exercice suivant que je n'arrive pas à résoudre :

trouvez la nature et la somme de la série de terme général :

U_n=arctan (1/ n²+3n+3)

J'ai essayé des tas de chose, les développement limités, les critères de Cauchy, d'Alembert, les équivalences avec les intégrales (primitive de arctan je vois pas trop ....) , mais rien à faire je ne vois même pas comment commencer pour trouver la nature de la serie.

Il me restera ensuite à trouver la somme de la serie si elle converge (flou total la aussi)

A moins qu'il existe une formule permettant de simplifier l'arctan ?

Merci d'avance à tous ceux qui se pencheront sur mon problème
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[invite57a1e779]

Bonjour à tous

j'ai l'exercice suivant que je n'arrive pas à résoudre :

trouvez la nature et la somme de la série de terme général :

U_n=arctan (1/ n²+3n+3)

J'ai essayé des tas de chose, les développement limités, les critères de Cauchy, d'Alembert, les équivalences avec les intégrales (primitive de arctan je vois pas trop ....) , mais rien à faire je ne vois même pas comment commencer pour trouver la nature de la serie.

Il me restera ensuite à trouver la somme de la serie si elle converge (flou total la aussi)

A moins qu'il existe une formule permettant de simplifier l'arctan ?

Merci d'avance à tous ceux qui se pencheront sur mon problème

C'est un exo à la noix.

Pour la convergence, tu dois savoir que au voisinage de 0.
Cela te donne et la convergence de la série.

Pour calculer la somme de la série, il te faudra obtenir un télescopage, donc écrire pour avoir

Il te faut donc avoir , soit .
Tu es donc ramené à déterminer de telle sorte que :
et , ce qui n'est plus très difficile

[invitea289bdd5]

Tout d'abord, merci à toi

C'est un exo à la noix.

Pour la convergence, tu dois savoir que au voisinage de 0.
Cela te donne et la convergence de la série.

Pour la convergence, je comprend très bien la méthode utilisée( j'ai honte de pas y avoir pensé tout seul )

Mais par contre je ne comprend pas ta méthode de "télescopage", il ne me semble pas avoir jamais utilisée une telle méthode, et je n'arrive pas trop à saisir son principe. Si tu pouvais m'en dire un peu plus

Merci beaucoup en tout cas.

[Flyingsquirrel]

Une erreur s'est glissée dans le post de God's Breath :

lire

Il te faut donc avoir

et pas

Il te faut donc avoir

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

Une erreur s'est glissée dans le post de God's Breath

Merci Flyingsquirrel d'avoir rectifié.

[invite57a1e779]

Mais par contre je ne comprend pas ta méthode de "télescopage", il ne me semble pas avoir jamais utilisée une telle méthode, et je n'arrive pas trop à saisir son principe. Si tu pouvais m'en dire un peu plus

Le principe est d'écrire le terme général comme différence de la forme .

On obtient alors la simplification, souvant dite "télescopage" ou "principe des dominos" :

où tous les termes se simplifient sauf le premier et le dernier, et on obtient ainsi explicitement la somme partielle de la série sous la forme :
, dont on n'a qu'à calculer la limite quand tend vers l'infini pour avoir la somme de la série.

[invitea289bdd5]

merci à vous pour ces éléments de réponse

par contre je n'arrive pas à résoudre le système, est-il normal de tomber sur une équation du second degré de ce type :
tan²(v_n) + tan(v_n) - (n²+3n+2) = 0

si je la résout je tombe sur deux solutions c'est étonnant ( v _n est bien unique, non ?)

[invite57a1e779]

est-il normal de tomber sur une équation du second degré de ce type :
tan²(v_n) + tan(v_n) - (n²+3n+2) = 0

Quand on tombe, on se fait mal, et c'est ton cas.

Je t'ai dit que c'est un exo "à la noix" (et je reste poli...).

On veut
et , soit .
Ce dernier polynôme se factorise en , et l'on remarque, magie des mathématiques, que , et que la solution est magnifiquement :
et .

[invitea289bdd5]

merci beaucoup à toi

pour info, je trouve la somme égale à

je trouve juste étonnant qu'il n'y ai pas une autre méthode pour calculer cette somme (ta méthode est particulièrement efficace, c'est vrai, mais je ne l'avait jamais rencontrée)

[invitea289bdd5]

merci beaucoup à toi

pour info, je trouve la somme égale à

je trouve juste étonnant qu'il n'y ai pas une autre méthode pour calculer cette somme (ta méthode est particulièrement efficace, c'est vrai, mais je ne l'avait jamais rencontrée)

[invite57a1e779]

merci beaucoup à toi

pour info, je trouve la somme égale à

je trouve juste étonnant qu'il n'y ai pas une autre méthode pour calculer cette somme (ta méthode est particulièrement efficace, c'est vrai, mais je ne l'avait jamais rencontrée)

est effectivement la somme de la série.

La méthode est particulièrement efficace pour calculer des sommes de série, par exemple avec en décomposant la fraction en éléments simples, ce qui est une idée qui doit venir naturellement à l'esprit.

Mais ton exercice est fabriqué à l'envers, on part de , et on calcule de correspondant, et il n'est pas du tout évident de reprendre le calcul en sens inverse.