Somme d'une série

**delphinounette** · 01/05/2006, 15h05

Bonjour, j'ai un petit soucis avec un exercice.

Je dois calculer la somme de la série :
-sin(nx)/n, pour n variant de 1 à l'infini.

Mais je ne sais pas du tout comment m'y prendre...

Pouvez vous m'indiquer la marche à suivre pur y parvenir ?

**rvz** · 01/05/2006, 15h13

Bonjour,

Tout d'abord, sais-tu calculer ce la somme des sin(nx) pour n entre 1 et N ?
Sinon, le mot clé que tu cherches est sommation d'abel...

__
rvz

**delphinounette** · 01/05/2006, 15h35

Bon alors la somme des sin(nx) si je ne me trompe pas est :
nx - (nx)³/3! + ...

et si j'ai bien compris, la somme de -sin(nx)/n est :
-x + n²*x³/3! - ...

Ce qui doit s'écrire plus simplement sous la forme :

sigma((-1)^k+1*x^2k+1/(2k+1)! * n^2k, pour k variant de 0 à l'infini.

Est ce que mon résonnement est correct ?

Sinon la sommation d'abel ne me dit rien du tout...

**IceDL** · 01/05/2006, 15h41

Envoyé par delphinounette

Bon alors la somme des sin(nx) si je ne me trompe pas est :
nx - (nx)³/3! + ...

et si j'ai bien compris, la somme de -sin(nx)/n est :
-x + n²*x³/3! - ...

Ce qui doit s'écrire plus simplement sous la forme :

sigma((-1)^k+1*x^2k+1/(2k+1)! * n^2k, pour k variant de 0 à l'infini.

Est ce que mon résonnement est correct ?

Sinon la sommation d'abel ne me dit rien du tout...

Salut,

Non là tu as donné le développement en série entière au voisinage de 0 de sin(nx). La somme (sur n pour x fixé) des sin(nx) se calcule comme la partie imaginaire de la somme des e^inx si ça peut t'aider.

Pour sommation d'Abel, rvz voulait peut-être dire Transformation d'Abel (mais bon il n'y a pas de nom officiel) ça te dit quelque chose ?

@+

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**rvz** · 01/05/2006, 15h42

Pour compléter, je ne sais pas si tu veux calculer la somme ou juste montrer que c'est convergent, auquel cas ce que j'ai dit suffit.

Mais si tu veux calculer la somme, je viens d'essayer de le faire et tu as besoin de calculer l'intégrale suivante (ou au moins d'avoir une estimation sympathique quand N tend vers l'infini)
$\text{[math]}$ ?
D'ailleurs, ce serait pas le noyau de Dirichlet ce truc ?

__
rvz, qui a toujours détesté ces intégrales en sinus

**delphinounette** · 02/05/2006, 09h33

Désolé mais là je vous suis pas du tout...

En fait je ne sais pas du tout comment faire pour trouver la somme d'une série quelle quel soit.
Pouvez vous m'indiquer la méthode à utiliser svp?

**doudache** · 02/05/2006, 09h48

Salut !

Pour calculer la somme, tu peux aussi faire la chose suivante (on appelle ça accélération de convergence) : tu t'intéresses à la somme suivante, pour r dans ]-1,1[

$\text{[math]}$

dont tu peux calculer facilement la dérivée par rapport à r. Normalement tu peux en déduire F(r,x). Ce qui t'intéresse, c'est se qui se passe en r=1 ; il faut donc que tu prouves que tu as le droit de faire tendre r vers 1 dans ta somme. Tu peux par exemple montrer, grâce à une majoration de type Abel, que, pour x fixé, ta somme converge uniformément sur [0,1].

Ton résultat final est une fonction affine.

**delphinounette** · 02/05/2006, 10h38

D'accord merci.

Et si maintenant je veux calculer la somme de la série de terme général :
(-1)^k/k * sin(k), pour k variant de 0 à l'infini

Comment dois je faire ?

**doudache** · 02/05/2006, 11h39

Ça a l'air d'être F(-1,1) avec mes notations (là encore, il faut prouver que l'on a bien une converge uniforme sur [-1,0]).

**delphinounette** · 02/05/2006, 12h47

OK merci pour votre aide

**indian58** · 02/05/2006, 18h17

Ou encore, il y a la méthode avec les séries de Fourier mais il faut connaitre la bonne fonction à développer.

**Elie520** · 21/12/2011, 18h43

La réponse arrive très tard, mais on peut aussi remarquer que c'est le développement en série entière du Log complexe de $\text{[math]}$ (à une ou deux choses près ^^) mais bon, il faut connaitre le Log complexe un petit peu pour pouvoir en tirer quelque chose.

Somme d'une série