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Somme d'une série



  1. #1
    delphinounette

    Unhappy Somme d'une série


    ------

    Bonjour, j'ai un petit soucis avec un exercice.

    Je dois calculer la somme de la série :
    -sin(nx)/n, pour n variant de 1 à l'infini.

    Mais je ne sais pas du tout comment m'y prendre...

    Pouvez vous m'indiquer la marche à suivre pur y parvenir ?

    -----

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  4. #2
    rvz

    Re : Somme d'une série

    Bonjour,

    Tout d'abord, sais-tu calculer ce la somme des sin(nx) pour n entre 1 et N ?
    Sinon, le mot clé que tu cherches est sommation d'abel...

    __
    rvz

  5. #3
    delphinounette

    Re : Somme d'une série

    Bon alors la somme des sin(nx) si je ne me trompe pas est :
    nx - (nx)3/3! + ...

    et si j'ai bien compris, la somme de -sin(nx)/n est :
    -x + n²*x3/3! - ...

    Ce qui doit s'écrire plus simplement sous la forme :

    sigma((-1)k+1*x2k+1/(2k+1)! * n2k, pour k variant de 0 à l'infini.

    Est ce que mon résonnement est correct ?

    Sinon la sommation d'abel ne me dit rien du tout...

  6. #4
    IceDL

    Re : Somme d'une série

    Citation Envoyé par delphinounette
    Bon alors la somme des sin(nx) si je ne me trompe pas est :
    nx - (nx)3/3! + ...

    et si j'ai bien compris, la somme de -sin(nx)/n est :
    -x + n²*x3/3! - ...

    Ce qui doit s'écrire plus simplement sous la forme :

    sigma((-1)k+1*x2k+1/(2k+1)! * n2k, pour k variant de 0 à l'infini.

    Est ce que mon résonnement est correct ?

    Sinon la sommation d'abel ne me dit rien du tout...
    Salut,

    Non là tu as donné le développement en série entière au voisinage de 0 de sin(nx). La somme (sur n pour x fixé) des sin(nx) se calcule comme la partie imaginaire de la somme des einx si ça peut t'aider.

    Pour sommation d'Abel, rvz voulait peut-être dire Transformation d'Abel (mais bon il n'y a pas de nom officiel) ça te dit quelque chose ?

    @+

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  8. #5
    rvz

    Re : Somme d'une série

    Pour compléter, je ne sais pas si tu veux calculer la somme ou juste montrer que c'est convergent, auquel cas ce que j'ai dit suffit.

    Mais si tu veux calculer la somme, je viens d'essayer de le faire et tu as besoin de calculer l'intégrale suivante (ou au moins d'avoir une estimation sympathique quand N tend vers l'infini)
    ?
    D'ailleurs, ce serait pas le noyau de Dirichlet ce truc ?

    __
    rvz, qui a toujours détesté ces intégrales en sinus

  9. #6
    delphinounette

    Re : Somme d'une série

    Désolé mais là je vous suis pas du tout...

    En fait je ne sais pas du tout comment faire pour trouver la somme d'une série quelle quel soit.
    Pouvez vous m'indiquer la méthode à utiliser svp?

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  11. #7
    doudache

    Re : Somme d'une série

    Salut !

    Pour calculer la somme, tu peux aussi faire la chose suivante (on appelle ça accélération de convergence) : tu t'intéresses à la somme suivante, pour r dans ]-1,1[


    dont tu peux calculer facilement la dérivée par rapport à r. Normalement tu peux en déduire F(r,x). Ce qui t'intéresse, c'est se qui se passe en r=1 ; il faut donc que tu prouves que tu as le droit de faire tendre r vers 1 dans ta somme. Tu peux par exemple montrer, grâce à une majoration de type Abel, que, pour x fixé, ta somme converge uniformément sur [0,1].

    Ton résultat final est une fonction affine.

  12. #8
    delphinounette

    Re : Somme d'une série

    D'accord merci.

    Et si maintenant je veux calculer la somme de la série de terme général :
    (-1)k/k * sin(k), pour k variant de 0 à l'infini

    Comment dois je faire ?

  13. #9
    doudache

    Re : Somme d'une série

    Ça a l'air d'être F(-1,1) avec mes notations (là encore, il faut prouver que l'on a bien une converge uniforme sur [-1,0]).

  14. #10
    delphinounette

    Re : Somme d'une série

    OK merci pour votre aide

  15. #11
    indian58

    Re : Somme d'une série

    Ou encore, il y a la méthode avec les séries de Fourier mais il faut connaitre la bonne fonction à développer.

  16. #12
    Elie520

    Re : Somme d'une série

    La réponse arrive très tard, mais on peut aussi remarquer que c'est le développement en série entière du Log complexe de (à une ou deux choses près ^^) mais bon, il faut connaitre le Log complexe un petit peu pour pouvoir en tirer quelque chose.
    Quod erat demonstrandum.

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