pgcd de deux polynômes

[J.M.M]

salut,j'arrive pas à bien comprendre la notion de pgcd en ce qui concerne les polynomes.ça me semble que c'est pas vraiment comme l'arithmétique:
par exemple j'ai trouvé dans une correction de série que le pgcd d'un polynome non constant et 2 est égale à 1 : je crois que c'est faux!!!en faite je pense que c'est 2 puisque les diviseurs d'un polynomes sont ses associés.
autre chose:quand on fait la division euclidienne pourquoi on peut toujours remplacer le polynome diviseur par un de ses associers
Appart ces deux questions si quelqu'un peut m'expliquer la notion de pgcd de deux polynomes,je serais reconnaissant.
merci d'avance.
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[invite769a1844]

salut,j'arrive pas à bien comprendre la notion de pgcd en ce qui concerne les polynomes.ça me semble que c'est pas vraiment comme l'arithmétique:
par exemple j'ai trouvé dans une correction de série que le pgcd d'un polynome non constant et 2 est égale à 1 : je crois que c'est faux!!!en faite je pense que c'est 2 puisque les diviseurs d'un polynomes sont ses associés.
autre chose:quand on fait la division euclidienne pourquoi on peut toujours remplacer le polynome diviseur par un de ses associers
Appart ces deux questions si quelqu'un peut m'expliquer la notion de pgcd de deux polynomes,je serais reconnaissant.
merci d'avance.

salut,

non c'est pas 2 et ça peut pas être 2. Dans la définition du pcgd de deux polynômes P,Q, pgcd(P,Q) a son coefficient dominant =1. Donc si pgcd(P,Q) est de degré 0, il ne peut être égal qu'à 1.

Soient deux polynômes associés B, C et la constante qui les associe. On a , deg B=deg C.

Si on divise un polynôme A par B, on a:

, et on a bien (R=0 ou deg R < deg C = deg B)

[Jeanpaul]

Si tu as 2 polynômes P(x) et Q(x) sur le corps des complexes, tu sais que tu peux les décomposer en un produit du genre :
P(x) = A (x - a1) (x - a2) etc..
Q(x) = B (x - b1) (x - b2) etc..
Si tu identifies des racines communes, tu peux les regrouper en un polynôme du genre S(x) = C (x - c1) (x - c2) etc..
P(x) et Q(x) sont des multiples du polynôme S(x). Si tu as mis le maximum de racines communes, ton polynôme S(x) aura le plus haut degré possible et ce sera le PGCD. Ca ressemble fortement à la décomposition d'un nombre en facteurs premiers.
Sauf que le polynôme S(x) n'est défini qu'à un facteur multiplicatif près (je prends pour C la valeur que je veux sauf zéro et ça marche encore).

[jarjarbinks]

Bonsoir,

Et y a-t-il moyen de trouver ce polynome PGCD par divisions euclidiennes succéssives comme pour les nombres entiers ?

Merci de votre réponse.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite1237a629]

Plop,

Si je ne me trompe pas, c'est le même principe : dernier reste non nul dans la division euclidienne.

[invite1237a629]

Plop,

Si je ne me trompe pas, c'est le même principe : dernier reste non nul dans la division euclidienne.

PGCD(A;B)=PGCD(B,R)

[Jeanpaul]

Bonsoir,

Et y a-t-il moyen de trouver ce polynome PGCD par divisions euclidiennes succéssives comme pour les nombres entiers ?

Merci de votre réponse.

Oui, on fait la division par puissances décroissantes, exactement comme avec des nombres entiers.

[J.M.M]

salut,

non c'est pas 2 et ça peut pas être 2. Dans la définition du pcgd de deux polynômes P,Q, pgcd(P,Q) a son coefficient dominant =1. Donc si pgcd(P,Q) est de degré 0, il ne peut être égal qu'à 1.

Soient deux polynômes associés B, C et la constante qui les associe. On a , deg B=deg C.

Si on divise un polynôme A par B, on a:

, et on a bien (R=0 ou deg R < deg C = deg B)

desolé j'ai pas compris ton explication:
la question est le pgcd d'une constante et d'un polynome non constant?pourquoi c'est égale à 1?

[invitec053041c]

desolé j'ai pas compris ton explication:
la question est le pgcd d'une constante et d'un polynome non constant?pourquoi c'est égale à 1?

Le pgcd de 2 polynômes est le plus grand de leur diviseur commun (lapalissade).
Ici, chez les polynômes, le plus grand signifie "diviseur de plus grand degré".

Quels sont les diviseurs d'un polynôme constant non nul P=a au sens polynômial ?
C'est l'ensemble des polynômes Q tels qu'il existe un polynôme Q' tq P=QQ'
Au sens polynômial, de tels Q et Q' ne peuvent être que des constantes. (car si degQ>=1, alors degP>=1 ce qui est faux).

Donc quand tu prends un polynôme Q quelconque et un polynôme P=a constant non nul quelconque, leur PGCD est le plus grand de leur diviseur, il est forcément de degré 0 car les diviseurs de P sont au plus de degré 0.
Or, une constante est toujours un diviseur de Q, donc PGCD(P,Q)=cst, et la convention veut qu'on ramène à 1 le coefficient de plus haut degré du PGCD, soit cst=1.

Cette convention ne pose aucun problème, car Si A divise B, alors A/an divise aussi B (an coeff de plus haut degré de A, ici non nul pour A non nul).

D'ailleurs, cette convention permet de parler DU pgcd, et non d'un pgcd de deux polynômes.

Cordialement.

[J.M.M]

Le pgcd de 2 polynômes est le plus grand de leur diviseur commun (lapalissade).
Ici, chez les polynômes, le plus grand signifie "diviseur de plus grand degré".

Quels sont les diviseurs d'un polynôme constant non nul P=a au sens polynômial ?
C'est l'ensemble des polynômes Q tels qu'il existe un polynôme Q' tq P=QQ'
Au sens polynômial, de tels Q et Q' ne peuvent être que des constantes. (car si degQ>=1, alors degP>=1 ce qui est faux).

Donc quand tu prends un polynôme Q quelconque et un polynôme P=a constant non nul quelconque, leur PGCD est le plus grand de leur diviseur, il est forcément de degré 0 car les diviseurs de P sont au plus de degré 0.
Or, une constante est toujours un diviseur de Q, donc PGCD(P,Q)=cst, et la convention veut qu'on ramène à 1 le coefficient de plus haut degré du PGCD, soit cst=1.

Cette convention ne pose aucun problème, car Si A divise B, alors A/an divise aussi B (an coeff de plus haut degré de A, ici non nul pour A non nul).

D'ailleurs, cette convention permet de parler DU pgcd, et non d'un pgcd de deux polynômes.

Cordialement.

merci énormement ledescat
tu es toujours au rendez-vous