endomorphisme et PGCD de polynômes

[invited68075ba]

Bonjour à tous !

Je viens demander votre aide car je bloque complètement sur cet exercice. Si vous pouvez m'aider, cela serait très gentil !
Voici l'énoncé :

Soit E=R3[X], espace des polynômes à coefficients réels de degré <= 3. Pour P appartenant à E, on pose phi(P) = R où R est le reste de la division euclidienne de (X4 - X)P(X) par (X4 - 5X² + 4).

a) Montrer qu'on définit ainsi un endomorphisme phi de E.

b) Quel est le PGCD des polynômes X4 - X et X4 - 5X² + 4 ? En déduire que le noyau de phi est la droite engendrée par X3 + X² + X, et son image l'ensemble des polynômes ayant 1 comme racine.

Voila si vous pouviez m'aider un peu ...
Merci !
Tom
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[invite7ffe9b6a]

Bonjour à tous !

Je viens demander votre aide car je bloque complètement sur cet exercice. Si vous pouvez m'aider, cela serait très gentil !
Voici l'énoncé :

Soit E=R3[X], espace des polynômes à coefficients réels de degré <= 3. Pour P appartenant à E, on pose phi(P) = R où R est le reste de la division euclidienne de (X4 - X)P(X) par (X4 - 5X² + 4).

a) Montrer qu'on définit ainsi un endomorphisme phi de E.

b) Quel est le PGCD des polynômes X4 - X et X4 - 5X² + 4 ? En déduire que le noyau de phi est la droite engendrée par X3 + X² + X, et son image l'ensemble des polynômes ayant 1 comme racine.

Voila si vous pouviez m'aider un peu ...
Merci !
Tom

Pour la premiere deux choses à vérifier:
montrer que phi: R3[X]->R3[X]
Autrement dit que le résultat est bien un polynome appartenant à R3[x].

Puis montrer que phi est linéaire.

Pour la deuxieme factorise les deux polynomes qu'on te donne pour en déduire le PGCD

[inviteb1fc23da]

Bonjour,

cherchant des exercices sur les PGCD des polynomes car ayant beaucoup de mal avec, je suis tombée là...

pour le a) pour montrer que le résultat est bien un polynome appartenant à R3[x]
est ce correct de le faire comme suis :

(X4 - X ) est de degres 4, P(X) est de degres inferieur ou egal à 3, d'où (X4 - X)P(X) est de degres inferieur ou egal à 12 (4x3)
Comme (X4 - 5X2 + 4) est de degres 4, et que 12/4 = 3, alors le reste de la division euclidienne de (X4 - X)P(X) par (X4 - 5X2 + 4) ne peut etre que de degres inferieur ou egal à 3. Donc phi va bien de E dans E.

je trouve cela plutot maladroit et sans reels preuves mais je ne vois pas comment faire autrement.

[inviteaf1870ed]

Attention : X^4*X^3=X^7, pas X^12 !

Sinon pour le degré du reste de la division euclidienne, c'est la définition

[A voir en vidéo sur Futura]