endomorphisme

[invite0589dd53]

E un ev euclidien de dim> ou égal a 2
u et v 2 endomorphisme de E tels que ||u(x)||=||v(x)||

dans cette question on ne suppose plus v inversible
j'ai montré que keru =kerv et rgu=rgv
j'ai aussi montré que (u(x)|u(y))=(v(x)|v(y))
la question suivante je bloque!!: **montrer qu'il existe r vecteurs de E tels que (u(e1),...,u(er))est une base orthonormée de Im u
(puis montrer que (v(e1),..,v(er))est une base de Im v je pense ke c la meme idée ke pour (u(e1),...))
**on complete (v(e1),..,v(er)) en une base orthonormé B1 de E et (u(e1),...,u(er)) en une autre base orthonormée B2 de E, et on considere l'endomorphisme h de E ki transforme B1 en B2.Montrer que h est une isométrie et que u = h o v

je n'ai vrmt aucune idée!! cela constitue en plus le début d'un probleme!j'ai besoin de votre aide public!!
merci d'avance
laure
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[invite0589dd53]

aya personne ne peut m'aider???

[invite0589dd53]

AU SECOURS TOUT LE MONDE J'ARRIVE PAS A ME DéCOINCER!!

[invitec5b86fa9]

bonjour,

tu sais qu'il existe une base (f1,...,fr) orthonormée de Im u (theoreme d'existence d'un base orthonormée). Donc par definition il existe e1,...,er tels que fi=u(ei).

de plus,

||fi||=||u(ei)||=||v(ei)||=1

(u(ei)|u(ej))=delta(i,j)=(v(ei )|v(ej))

(delta(i,j) est le symbole de Kronecker (et pas kronembourg) qui veut 1 si i=j et sinon 0)

Donc la famille (v(ei)) est orthormée donc elle est libre et on est en dimension r donc c'est une base de Im v.

En fait je trouve que mon raisonnement est juste mais je suis étonné du resultat parce que cela n'impose aucune condition sur la base (fi) que l'on a choisit au début, et je trouve ça louche que ça marche pour toutes les bases de Im u.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite88ef51f0]

Pas de panique... SuperCoincoin à la rescousse !
Pour la première question, il suffit de dire que dans un espace de dimension finie, on peut toujours trouver une base orthonormée. Appelons (f₁, ..., f_r) cette base (r est la dimension de l'espace que tu considères, c'est-à-dire dim(Im(u))=rg(u)). Comme les f_i sont dans Im(u) alors on peut les écrire u(e_i). Ca, c'est fait... Ensuite, il suffit de dire que (symbole de Kronecker) et que (u(e_i),u(e_j))=(v(e_i),v(e_j)) pour trouver que les v(e_i) forment une famille orthornormée de Im(v), et d'après les dimensions, c'est une base...
Pour la suite, j'ai la flemme

EDIT Space-Kro, tu fais la suite ?

[invitec5b86fa9]

Alors pour le reste c'est pas gagné en fait,

on a h qui est un endomorphisme de passage d'un base orthonormée à une autre donc h appartient au groupe orthogonale donc h est une isométrie.

Pour le reste ça doit être une histoire de matrice de passage d'un endomorphisme à un autre. Mais j'ai jamais été très kes là dedans, je me mélange tout le temps les pinceau. je vais donc laissé ça à des autorités plus compétentes.

Sinon je pense qu'on peut faire ça bourrin en posant chaque base et en écrivant les coordonnées de B1 dans B2, mais bon ça reviendrait à savoir son cours sur les matrices de passage...