puissance d´un endomorphisme

**christophe_de_Berlin** · 01/04/2007, 08h30

bonjour, je bloque depuis des jours sur un problème de puissance d´un endomorphisme u d´un espace de dimension n.

Il s´agit de prouver: ker u^n = ker u^n+1.

Bon, il est évident que er u^n est inclus ker u^n+1. Il s´agit donc de prouver l´inverse.

Je dois préciser que dans la question précédente de l´exo, on a prouvé que pour tout k non nul, on a:
(ker u^k = ker u^k+1) =>(ker u^k+1 = ker u^k+2)

Je ne sais pas si l´on doit se servir de ce résultat.

Merci d´avance pour vos suggestions.

Christophe

**Médiat** · 01/04/2007, 08h37

Tu peux considérer la suite entière des dimensions des noyaux : $\text{[math]}$

Que se passe-t-il si cette suite est constante à partir d'un certain rang k <= n ?
Que se passe-t-il si elle est strictement décroissante pour k <= n ?

**christophe_de_Berlin** · 02/04/2007, 08h38

oui, merci, j´ai aussi pensé à ça, en effet, à partir d´un certain rang k, la suite est constante. Même si elle est strictement décroissante, alors il arrive un moment où ker u^k est réduit au vecteur nul, et au plus tard à partir de là , la suite est constante. Mon problème, c´est que je ne vois pas de raison que k soit inférieur ou égal à n.

**Médiat** · 02/04/2007, 10h31

Envoyé par christophe_de_Berlin

Mon problème, c´est que je ne vois pas de raison que k soit inférieur ou égal à n.

Parce que $\text{[math]}$

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**christophe_de_Berlin** · 02/04/2007, 10h43

Salut médiat,

Comment peux-tu dire que la dimension du noyau de u^k est <=n, dimension de E?

**Romain-des-Bois** · 02/04/2007, 11h04

On ne peut pas avoir Ker (u^k) > dim(E)

**christophe_de_Berlin** · 03/04/2007, 06h32

Envoyé par christophe_de_Berlin

Salut médiat,

Comment peux-tu dire que la dimension du noyau de u^k est <=n, dimension de E?

Ou la la, pardon, la honte, je me suis mal exprimé: évidement que la dimension de Ker(u^n) est <= dim(E). Mais en fait c´est pas ça que je voulais dire: On est d´accord qu´à partir d´un certain rang k, la suite uk, représentant la dimension de Ker(u^k), est constante. Mais ce qu´il faut prouver, c´est que k <= n, pas uk.

Christophe

invite2eaa2470 · 03/04/2007, 06h43

Tu peux considérer à part le cas où u est injective (la suite est alors constante dès le premier rang).
Si u n'est pas injective alors dim(ker(u))=> 1.
Suppose que ta suite des noyaux est strictement croissante jusqu'au rang n...que vaut dim(Ker(u^n))?
et donc que vaut dim(Ker(u^(n+1))?...

drazala

**christophe_de_Berlin** · 03/04/2007, 13h30

Envoyé par drazala

Tu peux considérer à part le cas où u est injective (la suite est alors constante dès le premier rang).
Si u n'est pas injective alors dim(ker(u))=> 1.
Suppose que ta suite des noyaux est strictement croissante jusqu'au rang n...que vaut dim(Ker(u^n))?
et donc que vaut dim(Ker(u^(n+1))?...

drazala

Ah oui!!!

Eureka! j´ai capté!

Ben merci à tous, en général, je comprend vite, il suffit de m´expliquer longtemps!

invite3e942baa · 15/04/2007, 17h02

Salut,

Je comprends pas trop le raisonnement que vous avez utilisé. Vous pouvez me l'expliquer svp.

Merci

invite870bfaea · 15/04/2007, 20h46

bonjour,

je pose également la même question .. quelqu'un pourra nous expliquer svp?

Merci

inviteae1ed006 · 15/04/2007, 23h05

Le raisonnement utilisé est le suivant :
Si u est bijective alors pas de problème Ker(u)=0=Ker(u^n).
Sinon:
$\text{[math]}$ est croissante.
Au bout de n fois elle s'est forcément arrêter de croitre car sinon on aurait une dimension supérieure à n+1 (ce qui est impossible dans un e.v de dim n) donc $\text{[math]}$ et puisque l'on a déjà l'inclusion $\text{[math]}$ on peut conclure à l'égalité des e.v. grâce à l'égalité des dimensions.

En espérant avoir été assez clair.

invite870bfaea · 16/04/2007, 01h24

Merci beaucoup !

bonne soirée à toi et merci c'est très clair maintenant .

invite3e942baa · 16/04/2007, 11h57

Le raisonnement utilisé est le suivant :
Si u est bijective alors pas de problème Ker(u)=0=Ker(u^n).

Tu voulais surement dire "injective" .

Sinon j'ai juste une question:

Je suis d'accord que la suite $\text{[math]}$ est croissante, mais on a rien qui nous dit qu'elle est strictement croissante (elle peut tres bien etre constante jusqu'au rang n-2 et apres augmenter, elle n'est donc pas necessairement constante a partir de ce rang a priori), donc, on sait pas si au rang n-1, elle est egale a n ou meme si a un rang supérieur a n elle est supérieure ou égale a n+1 :

Au bout de n fois elle s'est forcément arrêter de croitre car sinon on aurait une dimension supérieure à n+1

invite3e942baa · 16/04/2007, 12h48

Je viens d'y reflechir et en fait, si on utilise un autre résultat, on peut montrer qu'elle est strictement croissante, je m'explique :

Dans mon exo, on a montré que :

$\text{[math]}$

On a aussi montré que :

$\text{[math]}$

Voila mon raisonnement :

1er Cas : $\text{[math]}$ :

On a alors $\text{[math]}$

2eme Cas : $\text{[math]}$ :

On sait que si $\text{[math]}$

Alors Soit A n'est pas inclu dans B soit $\text{[math]}$

On a, $\text{[math]}$

Or, $\text{[math]}$

Donc, $\text{[math]}$

Donc, $\text{[math]}$

Or, la suite est croissante

Donc, la suite $\text{[math]}$ est strictement croissante

Mais bon, voila, c'était pas forcément évident (Enfin, pas pour moi en tout cas).

inviteae1ed006 · 16/04/2007, 12h48

Envoyé par dolma

Tu voulais surement dire "injective"

Non, je voulais dire bijective mais ça n'a pas d'importance puisqu'en dimension finie : u injective est équivalent à u surjective est équivalent à u bijective.

Envoyé par dolma

elle peut tres bien etre constante jusqu'au rang n-2 et apres augmenter

Non elle ne peut pas, je détaille:
si par exemple à partir d'un certain rang k : $\text{[math]}$ alors $\text{[math]}$ en effet si $\text{[math]}$ alors $\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$ d'ou $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$ l'inclusion réciproque provenant de la croissance des noyaux.

invite3e942baa · 16/04/2007, 13h16

Effectivement, je suis d'accord.

Quand tu dis "La croissance des noyaux", est-ce que c'est le premier des deux résultats que j'ai écris juste au dessus de ton message ? si c'est un theoreme ou une Prop, on le voit en quelle année ?

Sinon, tu peux me dire si tu pense que mon raisonnement est correct stp.

Merci

inviteae1ed006 · 17/04/2007, 07h34

Envoyé par dolma

...Quand tu dis "La croissance des noyaux", est-ce que c'est le premier des deux résultats que j'ai écris juste au dessus de ton message ?

Quand je dis cela j'entends ceci : $\text{[math]}$ , c'est une croissance ensembliste (croissance pour l'inclusion).

Envoyé par dolma

si c'est un theoreme ou une Prop, on le voit en quelle année ?

Ce n'est ni un théorème ni une proposition de cours mais je dirai plutôt un résultat assez évident avec une petite maitrise des applications linéaires.

Envoyé par dolma

Sinon, tu peux me dire si tu pense que mon raisonnement est correct stp.

Ce que tu as écris m'a l'air correct...

invite3e942baa · 17/04/2007, 12h17

Merci bcp pour ton aide.

invite3e942baa · 17/04/2007, 13h38

J'ai encore un problème :

Voila, on a que la suite $\text{[math]}$ est strictement croissante.

Or, $\text{[math]}$

Donc, $\text{[math]}$

Mais la suite $\text{[math]}$ n'est que croissante.

On a donc seulement que $\text{[math]}$

On a donc pas $\text{[math]}$

A moins que je me sois trompé ou que j'ai oublié quelque chose.

invite3e942baa · 18/04/2007, 09h54

Au temps pour moi, j'ai rien dit.

En fait vu que $\text{[math]}$ et que $\text{[math]}$

Alors, $\text{[math]}$

Et comme $\text{[math]}$ est croissante, on a :

$\text{[math]}$

Donc, $\text{[math]}$

Donc, $\text{[math]}$

Or, $\text{[math]}$

Donc, $\text{[math]}$

Voila

inviteae1ed006 · 18/04/2007, 10h22

Envoyé par dolma

... $\text{[math]}$

Bonjour,
je n'ai pas tout lu mais attention, la dimension de $\text{[math]}$ n'est pas 1 mais 0.

invite3e942baa · 20/04/2007, 17h11

Oui, en effet, je m'en était rendu compte en le refaisant sur mon brouillon. Mais ca ne change pas le résultat (Heureusement).

Par contre j'ai un petit problème sur la suite de l'exo :

Il faut montrer que :

$\text{[math]}$

D'après le Théorème du Rang, on a :

$\text{[math]}$

Il faut donc montrer une des deux propositions suivantes :

$\text{[math]}$

ou

$\text{[math]}$

Voila, le seul problème c'est que je suis bloqué a cet endroit, j'ai essayé chacune des deux et je vois pas comment faire.

Est-ce que quelqu'un pourrait me donner une piste svp ?

Merci

inviteae1ed006 · 20/04/2007, 17h47

Bonjour,
tu as montré avant que $\text{[math]}$ donc (récurrence) $\text{[math]}$ pour tout $\text{[math]}$ .

Soit maintenant $\text{[math]}$ .

Puisque $\text{[math]}$ alors il existe $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ .
De plus $\text{[math]}$ car $\text{[math]}$ et donc $\text{[math]}$ mais puisque $\text{[math]}$ on a donc $\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$ .

Conclusion : $\text{[math]}$

invite3e942baa · 20/04/2007, 20h31

Merci bcp,

En fait j'avais déja montré que si $\text{[math]}$ Alors $\text{[math]}$

En fait j'était aussi parti sur le $\text{[math]}$ mais je m'était arreté la sans réfléchir en pensant que ca ne menerait nulle part.

Donc, heureusement que t'était la.

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