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puissance d´un endomorphisme



  1. #1
    christophe_de_Berlin

    puissance d´un endomorphisme


    ------

    bonjour, je bloque depuis des jours sur un problème de puissance d´un endomorphisme u d´un espace de dimension n.

    Il s´agit de prouver: ker u^n = ker u^n+1.

    Bon, il est évident que er u^n est inclus ker u^n+1. Il s´agit donc de prouver l´inverse.

    Je dois préciser que dans la question précédente de l´exo, on a prouvé que pour tout k non nul, on a:
    (ker u^k = ker u^k+1) =>(ker u^k+1 = ker u^k+2)

    Je ne sais pas si l´on doit se servir de ce résultat.

    Merci d´avance pour vos suggestions.

    Christophe

    -----

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  3. #2
    Médiat

    Re : puissance d´un endomorphisme

    Tu peux considérer la suite entière des dimensions des noyaux :
    1. Que se passe-t-il si cette suite est constante à partir d'un certain rang k <= n ?
    2. Que se passe-t-il si elle est strictement décroissante pour k <= n ?
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  4. #3
    christophe_de_Berlin

    Re : puissance d´un endomorphisme

    oui, merci, j´ai aussi pensé à ça, en effet, à partir d´un certain rang k, la suite est constante. Même si elle est strictement décroissante, alors il arrive un moment où ker u^k est réduit au vecteur nul, et au plus tard à partir de là , la suite est constante. Mon problème, c´est que je ne vois pas de raison que k soit inférieur ou égal à n.

  5. #4
    Médiat

    Re : puissance d´un endomorphisme

    Citation Envoyé par christophe_de_Berlin Voir le message
    Mon problème, c´est que je ne vois pas de raison que k soit inférieur ou égal à n.
    Parce que
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    christophe_de_Berlin

    Re : puissance d´un endomorphisme

    Salut médiat,

    Comment peux-tu dire que la dimension du noyau de u^k est <=n, dimension de E?

  8. #6
    Romain-des-Bois

    Re : puissance d´un endomorphisme

    On ne peut pas avoir Ker (uk) > dim(E)

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  10. #7
    christophe_de_Berlin

    Re : puissance d´un endomorphisme

    Citation Envoyé par christophe_de_Berlin Voir le message
    Salut médiat,

    Comment peux-tu dire que la dimension du noyau de u^k est <=n, dimension de E?
    Ou la la, pardon, la honte, je me suis mal exprimé: évidement que la dimension de Ker(u^n) est <= dim(E). Mais en fait c´est pas ça que je voulais dire: On est d´accord qu´à partir d´un certain rang k, la suite uk, représentant la dimension de Ker(u^k), est constante. Mais ce qu´il faut prouver, c´est que k <= n, pas uk.

    Christophe

  11. #8
    drazala

    Re : puissance d´un endomorphisme

    Tu peux considérer à part le cas où u est injective (la suite est alors constante dès le premier rang).
    Si u n'est pas injective alors dim(ker(u))=> 1.
    Suppose que ta suite des noyaux est strictement croissante jusqu'au rang n...que vaut dim(Ker(u^n))?
    et donc que vaut dim(Ker(u^(n+1))?...

    drazala

  12. #9
    christophe_de_Berlin

    Re : puissance d´un endomorphisme

    Citation Envoyé par drazala Voir le message
    Tu peux considérer à part le cas où u est injective (la suite est alors constante dès le premier rang).
    Si u n'est pas injective alors dim(ker(u))=> 1.
    Suppose que ta suite des noyaux est strictement croissante jusqu'au rang n...que vaut dim(Ker(u^n))?
    et donc que vaut dim(Ker(u^(n+1))?...

    drazala
    Ah oui!!! Eureka! j´ai capté!

    Ben merci à tous, en général, je comprend vite, il suffit de m´expliquer longtemps!

  13. #10
    dolma

    Re : puissance d´un endomorphisme

    Salut,

    Je comprends pas trop le raisonnement que vous avez utilisé. Vous pouvez me l'expliquer svp.

    Merci

  14. #11
    nassoufa_02

    Re : puissance d´un endomorphisme

    bonjour,

    je pose également la même question .. quelqu'un pourra nous expliquer svp?

    Merci
    L'imagination est plus importante que la connaissance !

  15. #12
    tize

    Re : puissance d´un endomorphisme

    Le raisonnement utilisé est le suivant :
    Si u est bijective alors pas de problème Ker(u)=0=Ker(u^n).
    Sinon:
    est croissante.
    Au bout de n fois elle s'est forcément arrêter de croitre car sinon on aurait une dimension supérieure à n+1 (ce qui est impossible dans un e.v de dim n) donc et puisque l'on a déjà l'inclusion on peut conclure à l'égalité des e.v. grâce à l'égalité des dimensions.

    En espérant avoir été assez clair.
    En espérant ne pas avoir dit trop de bêtises...Cordialement José

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  17. #13
    nassoufa_02

    Re : puissance d´un endomorphisme

    Merci beaucoup !

    bonne soirée à toi et merci c'est très clair maintenant .
    L'imagination est plus importante que la connaissance !

  18. #14
    dolma

    Re : puissance d´un endomorphisme

    Le raisonnement utilisé est le suivant :
    Si u est bijective alors pas de problème Ker(u)=0=Ker(u^n).
    Tu voulais surement dire "injective" .

    Sinon j'ai juste une question:

    Je suis d'accord que la suite est croissante, mais on a rien qui nous dit qu'elle est strictement croissante (elle peut tres bien etre constante jusqu'au rang n-2 et apres augmenter, elle n'est donc pas necessairement constante a partir de ce rang a priori), donc, on sait pas si au rang n-1, elle est egale a n ou meme si a un rang supérieur a n elle est supérieure ou égale a n+1 :

    Au bout de n fois elle s'est forcément arrêter de croitre car sinon on aurait une dimension supérieure à n+1

  19. #15
    dolma

    Re : puissance d´un endomorphisme

    Je viens d'y reflechir et en fait, si on utilise un autre résultat, on peut montrer qu'elle est strictement croissante, je m'explique :

    Dans mon exo, on a montré que :



    On a aussi montré que :



    Voila mon raisonnement :

    1er Cas : :

    On a alors

    2eme Cas : :

    On sait que si

    Alors Soit A n'est pas inclu dans B soit

    On a,

    Or,

    Donc,

    Donc,

    Or, la suite est croissante

    Donc, la suite est strictement croissante

    Mais bon, voila, c'était pas forcément évident (Enfin, pas pour moi en tout cas).

  20. #16
    tize

    Re : puissance d´un endomorphisme

    Citation Envoyé par dolma Voir le message
    Tu voulais surement dire "injective"
    Non, je voulais dire bijective mais ça n'a pas d'importance puisqu'en dimension finie : u injective est équivalent à u surjective est équivalent à u bijective.
    Citation Envoyé par dolma Voir le message
    elle peut tres bien etre constante jusqu'au rang n-2 et apres augmenter
    Non elle ne peut pas, je détaille:
    si par exemple à partir d'un certain rang k : alors en effet si alors donc d'ou et donc l'inclusion réciproque provenant de la croissance des noyaux.
    En espérant ne pas avoir dit trop de bêtises...Cordialement José

  21. #17
    dolma

    Re : puissance d´un endomorphisme

    Effectivement, je suis d'accord.

    Quand tu dis "La croissance des noyaux", est-ce que c'est le premier des deux résultats que j'ai écris juste au dessus de ton message ? si c'est un theoreme ou une Prop, on le voit en quelle année ?

    Sinon, tu peux me dire si tu pense que mon raisonnement est correct stp.

    Merci

  22. #18
    tize

    Re : puissance d´un endomorphisme

    Citation Envoyé par dolma Voir le message
    ...Quand tu dis "La croissance des noyaux", est-ce que c'est le premier des deux résultats que j'ai écris juste au dessus de ton message ?
    Quand je dis cela j'entends ceci : , c'est une croissance ensembliste (croissance pour l'inclusion).
    Citation Envoyé par dolma Voir le message
    si c'est un theoreme ou une Prop, on le voit en quelle année ?
    Ce n'est ni un théorème ni une proposition de cours mais je dirai plutôt un résultat assez évident avec une petite maitrise des applications linéaires.
    Citation Envoyé par dolma Voir le message
    Sinon, tu peux me dire si tu pense que mon raisonnement est correct stp.
    Ce que tu as écris m'a l'air correct...
    En espérant ne pas avoir dit trop de bêtises...Cordialement José

  23. Publicité
  24. #19
    dolma

    Re : puissance d´un endomorphisme

    Merci bcp pour ton aide.

  25. #20
    dolma

    Re : puissance d´un endomorphisme

    J'ai encore un problème :

    Voila, on a que la suite est strictement croissante.

    Or,

    Donc,

    Mais la suite n'est que croissante.

    On a donc seulement que

    On a donc pas

    A moins que je me sois trompé ou que j'ai oublié quelque chose.

  26. #21
    dolma

    Re : puissance d´un endomorphisme

    Au temps pour moi, j'ai rien dit.

    En fait vu que et que

    Alors,

    Et comme est croissante, on a :



    Donc,

    Donc,

    Or,

    Donc,

    Voila

  27. #22
    tize

    Re : puissance d´un endomorphisme

    Citation Envoyé par dolma Voir le message
    ...
    Bonjour,
    je n'ai pas tout lu mais attention, la dimension de n'est pas 1 mais 0.
    En espérant ne pas avoir dit trop de bêtises...Cordialement José

  28. #23
    dolma

    Re : puissance d´un endomorphisme

    Oui, en effet, je m'en était rendu compte en le refaisant sur mon brouillon. Mais ca ne change pas le résultat (Heureusement).

    Par contre j'ai un petit problème sur la suite de l'exo :

    Il faut montrer que :



    D'après le Théorème du Rang, on a :



    Il faut donc montrer une des deux propositions suivantes :



    ou



    Voila, le seul problème c'est que je suis bloqué a cet endroit, j'ai essayé chacune des deux et je vois pas comment faire.

    Est-ce que quelqu'un pourrait me donner une piste svp ?

    Merci

  29. #24
    tize

    Re : puissance d´un endomorphisme

    Bonjour,
    tu as montré avant que donc (récurrence) pour tout .

    Soit maintenant .

    Puisque alors il existe tel que .
    De plus car et donc mais puisque on a donc donc .

    Conclusion :
    En espérant ne pas avoir dit trop de bêtises...Cordialement José

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  31. #25
    dolma

    Re : puissance d´un endomorphisme

    Merci bcp,

    En fait j'avais déja montré que si Alors

    En fait j'était aussi parti sur le mais je m'était arreté la sans réfléchir en pensant que ca ne menerait nulle part.

    Donc, heureusement que t'était la.

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