Répondre à la discussion
Affichage des résultats 1 à 10 sur 10

Endomorphisme



  1. #1
    Makka

    Endomorphisme


    ------

    Bonjour,
    j'ai f une application linéaire et f3=Id
    j=e

    je dois prouver que ker(f²+f+Id)=ker(f-jId) + ker(f-j²Id)

    j'ai essayé avec une double inclusion, mais je n'y arrive pas, y aurait-il une autre méthode?

    -----
    Y'a d'la joie...

  2. Publicité
  3. 📣 Nouveau projet éditorial de Futura
    🔥🧠 Le Mag Futura est lancé, découvrez notre 1er magazine papier

    Une belle revue de plus de 200 pages et 4 dossiers scientifiques pour tout comprendre à la science qui fera le futur. Nous avons besoin de vous 🙏 pour nous aider à le lancer...

    👉 Je découvre le projet

    Quatre questions à explorer en 2022 :
    → Quels mystères nous cache encore la Lune 🌙 ?
    → Pourra-t-on bientôt tout guérir grâce aux gènes 👩‍⚕️?
    → Comment nourrir le monde sans le détruire 🌍 ?
    → L’intelligence artificielle peut-elle devenir vraiment intelligente 🤖 ?
  4. #2
    erff

    Re : Endomorphisme

    on a :
    X^3 - 1 est un polynome annulateur de f
    X^3-1 = (X-1)(X²+X+1)

    Donc E=Ker(f-id)+ker(fof + f + id) par lemme des noyaux (somme directe)

    puis en refactorisant : x²+x+1 = (x-j)(x-j²) (...apres ca devrait aller)

  5. #3
    Makka

    Re : Endomorphisme

    en fait, il faut que je montre que l'intersection est le vecteur nul (ça je sais faire) et que si x est un vecteur de ker(f²+f+Id) alors on peut le décomposer en un vecteur de ker(f-jId) et en un vecteur de ker(f-j²Id)?
    Y'a d'la joie...

  6. #4
    erff

    Re : Endomorphisme

    Si tu ne connais pas le lemme des noyaux, oublie ce que j'ai mis plus haut...il faut utiliser Bézout, cherche lemme des noyaux ca te donnera des idées.

    En fait il faut écrire que :
    tout x s'écrit Q(f)o(f - jId) + P(f)o(f-j²Id)
    et ensuite il faut constater que chaque élément est respectivement dans un Ker...

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #5
    Makka

    Re : Endomorphisme

    Je connais pas le lemme des noyaux, du coup je ne vois pas ce que je dois faire...
    Peux tu m'expliquer la démarche à suivre stp?
    et merci de m'aider ^^
    Y'a d'la joie...

  9. #6
    indian58

    Re : Endomorphisme

    inclusion droite - gauche : soit z= x + y avec f(x)= jx et f(y) = j²y. Alors, f²(z) + f(z) +z = f(j x + j² y) + jx + j²y + x + y= j f(x) + j² f(y) + jx + j²y + x+ y = 0 car 1+j+j²=0.

    inclusion gauche - droite : Soit x tq f²(x) + f(x) + x = 0. D'après le th de Bezout, il existe P,Q tq P(f)°(f-jId) + Q(f)°(f-j²Id)=Id.
    D'où x = P(f)°(f(x) - jx) + Q(f)°(f(x) - j²x).
    Or f( P(f)°(f(x) - jx) ) = P(f)°f( f(x)-jx ) = P(f)° ( -x -f(x)- jx) = P(f)°( - f(x) +j² x) = .... en continuant les calculs, tu vois que les deux quantités du membre de droite appartiennent chacun à un des deux ker. Et don ton inclusion est démontrée.

  10. Publicité
  11. #7
    Makka

    Re : Endomorphisme

    Je n'ai pas vu le théorème de Bezout en cours, c'est possible de faire sans?
    Y'a d'la joie...

  12. #8
    erff

    Re : Endomorphisme

    Si tu veux faire sans, il faut que tu explicites P et Q (essaie de les chercher par tatonnement) ; personnellement je ne maitrise pas les méthodes pr ce genre de calcul car l'arithmétique est hors programme de ma filière (je ne suis meme pas censé connaître Bézout)...donc si qqun peut t'aider...

    Moi je commencerais a écrire :
    1=(aX+b)(x-j) + (a'X+b')(x-j²) (en espérant que ca suffise au 1er degrè) et je trouverais des conditions sur a, b, a' et b' : on aura donc l'existence des polynomes P et Q (qui est tjs vraie d'après Bézout)
    ...Enfin bon ca fait un peu parachuté comme méthode quand on ne connait pas le lemme des noyaux...

  13. #9
    erff

    Re : Endomorphisme

    Bon je m'auto réponds vu que je ne peux pas modifier :
    En fait il évident que :
    1=1/(j²-j)*(X-j) - 1/(j²-j)*(X-j²)

    Donc pour tout x dans Ker(f²+f+id) on écrira
    x=1/(j²-j)*(f(x)-jx) - 1/(j²-j)*(f(x)-j²x) = x1 + x2

    Maintenant il suffit de constater (c'est pas dur) que f(x1)=j²x1 et f(x2)=jx2...Voilà

  14. #10
    Makka

    Re : Endomorphisme

    merci de m'avoir aidé
    Je pense pouvoir me débrouiller maintenant
    merci
    Y'a d'la joie...

Discussions similaires

  1. puissance d´un endomorphisme
    Par christophe_de_Berlin dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 24
    Dernier message: 20/04/2007, 21h31
  2. endomorphisme
    Par benoist dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 1
    Dernier message: 14/01/2007, 15h42
  3. endomorphisme de R3
    Par yonyon dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 3
    Dernier message: 10/10/2006, 20h39
  4. endomorphisme
    Par Poxtra-102 dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 12
    Dernier message: 24/01/2005, 23h41
  5. endomorphisme
    Par juliaroberts dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 5
    Dernier message: 21/01/2005, 21h04