Endomorphisme

[invite37c192d1]

Bonjour,
j'ai f une application linéaire et f³=Id
j=e

je dois prouver que ker(f²+f+Id)=ker(f-jId) + ker(f-j²Id)

j'ai essayé avec une double inclusion, mais je n'y arrive pas, y aurait-il une autre méthode?
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[erff]

on a :
X^3 - 1 est un polynome annulateur de f
X^3-1 = (X-1)(X²+X+1)

Donc E=Ker(f-id)+ker(fof + f + id) par lemme des noyaux (somme directe)

puis en refactorisant : x²+x+1 = (x-j)(x-j²) (...apres ca devrait aller)

[invite37c192d1]

en fait, il faut que je montre que l'intersection est le vecteur nul (ça je sais faire) et que si x est un vecteur de ker(f²+f+Id) alors on peut le décomposer en un vecteur de ker(f-jId) et en un vecteur de ker(f-j²Id)?

[erff]

Si tu ne connais pas le lemme des noyaux, oublie ce que j'ai mis plus haut...il faut utiliser Bézout, cherche lemme des noyaux ca te donnera des idées.

En fait il faut écrire que :
tout x s'écrit Q(f)o(f - jId) + P(f)o(f-j²Id)
et ensuite il faut constater que chaque élément est respectivement dans un Ker...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite37c192d1]

Je connais pas le lemme des noyaux, du coup je ne vois pas ce que je dois faire...
Peux tu m'expliquer la démarche à suivre stp?
et merci de m'aider ^^

[invited5b2473a]

inclusion droite - gauche : soit z= x + y avec f(x)= jx et f(y) = j²y. Alors, f²(z) + f(z) +z = f(j x + j² y) + jx + j²y + x + y= j f(x) + j² f(y) + jx + j²y + x+ y = 0 car 1+j+j²=0.

inclusion gauche - droite : Soit x tq f²(x) + f(x) + x = 0. D'après le th de Bezout, il existe P,Q tq P(f)°(f-jId) + Q(f)°(f-j²Id)=Id.
D'où x = P(f)°(f(x) - jx) + Q(f)°(f(x) - j²x).
Or f( P(f)°(f(x) - jx) ) = P(f)°f( f(x)-jx ) = P(f)° ( -x -f(x)- jx) = P(f)°( - f(x) +j² x) = .... en continuant les calculs, tu vois que les deux quantités du membre de droite appartiennent chacun à un des deux ker. Et don ton inclusion est démontrée.

[invite37c192d1]

Je n'ai pas vu le théorème de Bezout en cours, c'est possible de faire sans?

[erff]

Si tu veux faire sans, il faut que tu explicites P et Q (essaie de les chercher par tatonnement) ; personnellement je ne maitrise pas les méthodes pr ce genre de calcul car l'arithmétique est hors programme de ma filière (je ne suis meme pas censé connaître Bézout)...donc si qqun peut t'aider...

Moi je commencerais a écrire :
1=(aX+b)(x-j) + (a'X+b')(x-j²) (en espérant que ca suffise au 1er degrè) et je trouverais des conditions sur a, b, a' et b' : on aura donc l'existence des polynomes P et Q (qui est tjs vraie d'après Bézout)
...Enfin bon ca fait un peu parachuté comme méthode quand on ne connait pas le lemme des noyaux...

[erff]

Bon je m'auto réponds vu que je ne peux pas modifier :
En fait il évident que :
1=1/(j²-j)*(X-j) - 1/(j²-j)*(X-j²)

Donc pour tout x dans Ker(f²+f+id) on écrira
x=1/(j²-j)*(f(x)-jx) - 1/(j²-j)*(f(x)-j²x) = x1 + x2

Maintenant il suffit de constater (c'est pas dur) que f(x1)=j²x1 et f(x2)=jx2...Voilà

[invite37c192d1]

merci de m'avoir aidé
Je pense pouvoir me débrouiller maintenant
merci