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endomorphisme de R3



  1. #1
    yonyon

    endomorphisme de R3


    ------

    Bonjour, je n'arrive pas à faire cet exercice:
    Soit u le vecteur de R3 de coordonnées (a,b,c) dan sle base canonique B=(e1,e2,e3) de R3. On considère les endomorphismes f de R3 vérifiant:
    f(e1)=e2
    f(e2)=e3
    f(e3)=u
    f(u)=e1
    Montrer qu'il existe deux endomorphismes f1 et f2 vérifiant ces relations.
    Ecrire les matrices de f1 et f2 dans la base (e1,e2,e3) de R3.

    Voilà ce quej'ai fait :
    f(u)=f(ae1+be2+ce3)=af(e1)+bf( e2)+cf(e3)=e1
    d'où
    ae2+be3+c(ae1+be2+ce3)=e1
    d'où
    ac=1
    a+bc=0
    b+c²=0

    mais je ne vois pas comment aller plus loin...

    Merci d'avance pour votre aide

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    fderwelt

    Re : endomorphisme de R3

    Bonjour,

    Bin tu substitues, bien à la bourrin, par exemple:
    a + bc = 0 <=> a = -bc
    d'où
    ac = 1 <=> bc² = -1
    et comme
    b + c² = 0 <=> c² = -b
    on obtient
    -b² = -1 d'où b = +1 ou b = -1
    et on en tire a et c dans les deux cas.

    Oui, c'est bête, mais il ne faut pas toujours chercher compliqué

    -- françois
    Les optimistes croient que ce monde est le meilleur possible. Les pessimistes savent que c'est vrai.

  4. #3
    ericcc

    Re : endomorphisme de R3

    Attention à ne pas mélanger les implications et les équivalences :
    b ne peut etre égal à 1 car alors on n'aurait pas b+c²=0
    En fait b=-1 et ce sont a et c qui peuvent prendre les valeurs 1 et -1

  5. #4
    fderwelt

    Re : endomorphisme de R3

    Citation Envoyé par ericcc Voir le message
    Attention à ne pas mélanger les implications et les équivalences :
    b ne peut etre égal à 1 car alors on n'aurait pas b+c²=0
    En fait b=-1 et ce sont a et c qui peuvent prendre les valeurs 1 et -1
    Oups oui, tu as raison, la honte... chuis allé trop vite sans me relire...

    -- françois
    Les optimistes croient que ce monde est le meilleur possible. Les pessimistes savent que c'est vrai.

  6. A voir en vidéo sur Futura

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