resultant de deux polynomes

[invitedc96a826]

Bonjour tt le monde.
j'ai quelque petit problème sur cet exo. pouvez vous m'aider svp. je met mes idée entre parentèse après chaque question.

1) soient deux couples distincts de réels (b,c) et (b',c') resoudre le système : y+bx+c=0 et y+b'x+c'=0 (je n'ai pas eu de problème pour celle ci)

on designe P(X) et Q(X) les polynome X²+bX+c et X²+b'X+c'

2)montrer que si P et Q ont une racine commune elle est necessairement réelle. (j'utilise le resultat du dessus, c'est ce qui me parait logique mais mes resultat ne me permettent pas d'elever x au carré pour retrouver y)

3) que peut on dire de cette racine si b,c,b',c' sont rationnels? entiers?

on appelle resultant des ces deux polynome, noté R(P,Q) le réel (c'-c)²-(b'-b)(bc'-cb')

4) montrer que P et Q ont une racine (complexe) commune si et seulement si R(P,Q)=0

5) on note delta le discriminant de P et gamma celui de Q. montrer que ce sont des réels, que peut on dire de leur signe lorsque R(P,Q)=0

6) dans le cas ou R(P,Q) different de 0 on designe par r et s les deux racines de P et par u et v les deux racines de Q, comparer les nombre R(P,Q), P(u)P(v) et Q(r)Q(s)
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[invitedc96a826]

SVP est ce que quelqu'un pourait me repondre. meme pour me dire que c'est infaisable mais juste pour me l'indiquer. j'en peut plus de le chercher et je doit le rendre demain. merci d'avance

[invite0f5c0a62]

pour le 1, il faut simplement connaître des propriétés sur les racines complexes d'un polynôme réel, l'une étant le conjuguée de l'autre, si un autre polynome possède une racine commune, alors les 2 sont communes puisqu'un complexe n'a qu'un conjugué, la condition des de b et b' et c et c' distincts ne tiens plus.

[invite0f5c0a62]

(c'est la suite d'au dessus)

donc on arrive à une contradiction qui implique la racine commune réelle.

Je pense que le système sert plus aux autres questions (2 et 3), il doit falloir regarder selon les résultats dans R ce qui se passe dans Q, dans N.

4, ça reprends l'idée du 1, le 1, si une racine commune est complexe, alors les racines sont identiques pour les 2 polynômes (l'autre étant le conjugué) ces polynômes sont unitaires (la a devant X² est égal à 1) il faut identifier les parties réelles et complexe pour aboutir à b = b' et c = c'.

tu as alors une implication facile : b = b' et c = c' => R(P,Q) = 0 (dans ce sens là c'est pas dur)

maintenant il faut démontrer R(P,Q) = 0 => P et Q ont une racine commune

5, Encore la même idée si tu n'as pas fini le 4, admet le.
d'une part les delta sont b² - 4c (y'a pas de a c'est 1) et b'² - 4c' b,b',c,c' sont réels, on conclut donc rapidement sur les delta.

D'après 4, R(P,Q) = 0 <=> il exite une racine complexe commune. Bon, une racine complexe dans chaque polynome on abouti rapidement à delta et gamma négatif.

Le 6 c'est du calcul, y'a peut être une dernière astuce avec les delta gamma positif (puisque racines réelles) et donc b² >= 4c et b'² >= 4c' en tout cas, j'essaierai de m'en servir à ta place, sinon tu vas vraiment te galérer.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitedc96a826]

aurai tu une adresse msn a me communiquer pour que tu puisse m'expliquer quelques points parce que par exemple je ne comprends pas l'histoire des racines communes qui entrainent qu'elles sont réelles. sinon est ce que tu pourais réexpliquer pour un debutant stp.

merci beaucoup pour ton aide

[invitebfbf094d]

Si Xo est la racine commune de P(X) et Q(X), alors Xo vérifie le système d'équations :
(Xo)²+bXo+c=0 et (Xo)²+b'Xo+c'=0.
On en déduit la valeur de Xo=(c'-c)/(b-b') qui est réelle puisque b, b', c et c' sont réels.

[invitebfbf094d]

4)a)On suppose la racine commune complexe X=u+iv, vérifiant tjrs le système d'équations X²+bX+c=0 et X²+b'X+c'=0. En résolvant le sytème d'équation, on tire (égalant l'expression réelle à zéro, ainsi que la partie imaginaire) :

(b-b')x+c-c'=0 et (b-b')y=0. Ce qui impliqe que b-b'=0, et donc que c-c'=0, et finalement que la résultante R=0.

b)Supposons la résultante nulle R=0, c-a-d (c'-c)²=(b'-b)(bc'-b'c). Or X=(c'-c)/(b-b'). Remplacant c'-c= , il vient :

X=- < 0 . X est donc complexe.

[invitebfbf094d]

X=- < 0 . X est donc complexe.

Tout le monde aura remarqué la conclusion fausse. Rien ne permet a priori d'affirmer une telle bétise.

[invite0f5c0a62]

oui je bloque à cette implication là également,

on peut peut être supposer par l'absurde que les racines sont réelles pures ce qui donnerait les discriminant positif ou nul soit : b²>= 4c et b'² >= 4c' et arriver à une contradiction mais je la trouve pas.

[invitebfbf094d]

La résultante nulle implique (c'-c)²=(b'-b)(bc'-b'c). Si le produit de b'-b par bc'-b'c est positif, alors c'-c=+- . Cependant, si le produit est négatif, c'-c=+-i. Dans ce dernier cas, on aura effectivement X complexe (imaginaire pure meme).
Je n'ai pas d'autres idées pour l'instant.