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égalité de deux polynomes



  1. #1
    Geminga

    égalité de deux polynomes


    ------

    Bonjour à tous, je uis en premiére s et on ma donné un exercice dont je n'arrive pas a trouver la solution ce qui a pour effet de m'énerver si vous avez quelque minutes a me consacrer pouriez vous m'indiquer le chemin à suivre :

    Déterminer les réel a et b tels que pour tout réel diff de 1 et -3/2 , on ait :
    1/(x-1)(2x+3)=a/(x-1) + b/(2x + 3)

    en développant un peut je suis arrier à :
    a2x+3a+bx-b=1
    est ce juste ?
    Suis je sur la bonne voie ?
    Et comment dois je continuer

    merci d'avance pour ceux qui voudront bien m'accorder un peu de leur temps

    -----

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  3. #2
    matthias

    Re : égalité de deux polynomes

    Citation Envoyé par Geminga
    en développant un peut je suis arrier à :
    a2x+3a+bx-b=1
    est ce juste ?
    Suis je sur la bonne voie ?
    Et comment dois je continuer
    Oui c'est bon. Ceci doit être vrai pour tout x différent de 1 et -3/2. Tu peux donc voir ce que ça donne pour des valeurs particulières de x.

  4. #3
    ptithomme

    Re : égalité de deux polynomes

    en fait c'est décomposition en fraction rationnelle. Essaie de faire un système de deux équations à deux inconnues (a,b) en réduisant au même dénominateur le membre de droite

  5. #4
    Geminga

    Re : égalité de deux polynomes

    merci , mais en fait ptihomme j'ai déja mit au méme dénominateur dans le développement que j'ai trouver
    non ?

    et pour le systéme à deux équations j'y est pensé et je pense que c'est ça mais je n'arrive pas à le faire si vous pouviez m'aidez encore un tout petit peu plus ça serait génial

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    CherinaM

    Re : égalité de deux polynomes

    Geminga,

    a2x+3a+bx-b=1
    (2a+b)x + (3a-b) = 1

    d'où:

    2a+b = 0
    3a-b = 1

    tu procèdes par substitution... 2a+b = 0 <=> b = - 2a et tu remplaces b dans la 2e égalité... ainsi, tu trouves a et b.

    a = 1/5
    b = -2/5

    voila!

  8. #6
    Geminga

    Re : égalité de deux polynomes

    Merci beaucoup mais juste un derniére question comment arrive tu à :
    2a + b = 0

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  10. #7
    Geminga

    Re : égalité de deux polynomes

    Peut tu faire une étape de plus
    merci

  11. #8
    nissart7831

    Re : égalité de deux polynomes

    Citation Envoyé par Geminga
    Merci beaucoup mais juste un derniére question comment arrive tu à :
    2a + b = 0
    Par identification : à droite du signe égal, il y a 1 mais il n'y a pas de terme en x. Donc le coefficient devant le x dans le terme de gauche est nul.

  12. #9
    Geminga

    Re : égalité de deux polynomes

    Mais pourquoi le coefficient de x est nul? je suis un peu perdu.
    Bon déja apparement mon développement est juste ?

  13. #10
    ptithomme

    Re : égalité de deux polynomes

    ben identifie: x(2a+b)+(3a-b)=1 +0x tu remarques bien que le coefficient devant x est nul d'où 2a+b=0
    3a-b=1

  14. #11
    Geminga

    Re : égalité de deux polynomes

    C'est quoi l'identification en fait je suis pas sur de l'avoir fait ça

  15. #12
    CherinaM

    Re : égalité de deux polynomes

    nan mais on fait pas ça... on connaît....

    par exemple, si:
    ax + b = 5x + 2

    tu vois que a = 5, et b = 2

    là c'est pareil: (2a+b)x + (3a-b) = 0x + 1
    et tu as 2a+b = 0 et 3a-b = 1
    voila!

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  17. #13
    GuYem

    Re : égalité de deux polynomes

    Si on ne comprends pas vraiment ce principe de comparaison des coefficients ( des fois c'est pas facile), on reprends le message de Matthias la haut, on donne deux valeurs différentes à x (parmi les valeurs autorisées, il y en a un paquet) et on obtient un système de deux équations à deux inconnues a et b.
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  18. #14
    fderwelt

    Re : égalité de deux polynomes

    Citation Envoyé par CherinaM
    nan mais on fait pas ça... on connaît....
    Bonjour,

    La difficulté de Geminga est classique, il ne faut pas se moquer! On l'a tous eue au moins une fois (quand on était petit).

    Dans une identification, on sait qu'on a un certain nombre de X, plus une constante, égale un autre nombre de X, plus une autre constante (dans le cas linéaire, je veux dire). Alors on "identifie" terme à terme. En clair, si on a:
    aX + b = cX + d
    on doit avoir a = c et b = d.

    Parce que X est une indéterminée. Mais (c'est là la confusion) on utilise aussi la lettre X pour désigner une inconnue dans une équation. Alors on paut avoir aX+b = cX+d avec X = (d-b)/(a-c)... c'est-à-dire pour une valeur particulière de X, et là pas question d'identification.

    En me relisant, j'ai plus l'impression d'avoir ajouté le bazar à la confusion . Si c'est le cas, ignorer ce post!

    -- françois

  19. #15
    matthias

    Re : égalité de deux polynomes

    C'est exactement pour ça que j'avais proposé de prendre des valeurs particulières de x.

  20. #16
    CherinaM

    Re : égalité de deux polynomes

    Citation Envoyé par fderwelt
    La difficulté de Geminga est classique, il ne faut pas se moquer! On l'a tous eue au moins une fois (quand on était petit).
    mais je ne me moque pas du tout! tu as mal interprété ce que j'ai dit... Germinga disait qu'il/elle ne comprenait l'identification car il/elle pensait qu'il/elle n'avait pas vu ça en cours.... j'ai juste répondu que l'identification qu'on fait ce n'est pas un terme... euh... tu vois c'est pas comme l'intégration, c'est pas une méthode mathématique... on identifie c'est tout.... on a pas fait un chapitre dessus... tu vois ce que je veux dire? on (impersonnel) sait identifier, c'est tout...

    bon ben Germinga, t'as compris le truc ou pas?

  21. #17
    matthias

    Re : égalité de deux polynomes

    Citation Envoyé par CherinaM
    c'est pas une méthode mathématique... on identifie c'est tout.... on a pas fait un chapitre dessus... tu vois ce que je veux dire? on (impersonnel) sait identifier, c'est tout...
    L'identification est bien une méthode qui se démontre rigoureusement.
    Sans être très compliqué, ce n'est pas si évident que ça de démontrer que deux fonctions polynômiales prenant les mêmes valeurs sur R privé d'un nombre fini de points (ici 2) ont les mêmes coefficients. Il y a actuellement un autre fil sur ce sujet.

  22. #18
    CherinaM

    Re : égalité de deux polynomes

    oui nan d'accord... mais à notre niveau, c'est admis... ce n'est pas quelque chose qu'on apprend... aucun chapitre (ou parties, ou sous-parties) de notre cours n'est exclusivement basé sur l'identification... c'est ce que je voulais dire... je parlais par rapport au ptit cours merdique qu'on a au lycée!

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  24. #19
    fderwelt

    Re : égalité de deux polynomes

    Citation Envoyé par CherinaM
    oui nan d'accord... mais à notre niveau, c'est admis... ce n'est pas quelque chose qu'on apprend... aucun chapitre (ou parties, ou sous-parties) de notre cours n'est exclusivement basé sur l'identification... c'est ce que je voulais dire... je parlais par rapport au ptit cours merdique qu'on a au lycée!
    C'est sûr que l'identification ne se justifie que parce qu'on a une base {1, X, X²...} de l'E.V. K[X] des polynômes sur un corps K... et qu'on n'apprend pas ça en tant que tel. On le découvre à l'occasion d'exercices, et il faut s'en souvenir, même si le prof n'insiste pas dessus!

    -- françois

  25. #20
    matthias

    Re : égalité de deux polynomes

    Mais on peut quand même faire une démonstration rigoureuse :
    a2x+3a+bx-b=1 pour tout x différent de 1 et -3/2
    c'est donc vrai pour x=0, d'où :
    3a - b = 1
    on a donc (2a+b)x = 0 pour tout x différent de 1 et -3/2
    On prend x différent de 0 quelconque et on obtient :
    2a + b = 0

    Maintenant, pour Geminga, il est important de connaître la méthode d'identification. Elle a déjà été expliquée, mais bon, je le fais une fois de plus:
    Si tu as deux fonctions polynomiales P et Q,




    et que tu sais que P(x) = Q(x) pour tout x réel, alors tu as :



    Ca marche aussi si P(x) = Q(x) pour une infinité de réels (pas nécessairement sur R tout entier).

    Pour ton exercice, tu as :
    (2a+b)x + (3a-b) = 1 = 0x + 1
    pour tout x réel sauf 1 et -3/2
    la méthode d'identification te donne donc directement:
    2a + b = 0
    3a - b = 1

  26. #21
    matthias

    Re : égalité de deux polynomes

    Citation Envoyé par fderwelt
    C'est sûr que l'identification ne se justifie que parce qu'on a une base {1, X, X²...} de l'E.V. K[X] des polynômes sur un corps K... et qu'on n'apprend pas ça en tant que tel.
    Oui, mais bon, en première S, on ne voit ni les corps, ni les espaces vectoriels, ni les polynômes (juste les fonctions polynomiales)

  27. #22
    fderwelt

    Re : égalité de deux polynomes

    Citation Envoyé par matthias
    Oui, mais bon, en première S, on ne voit ni les corps, ni les espaces vectoriels, ni les polynômes (juste les fonctions polynomiales)
    J'avoue que la 1ère c'est loin pour moi... mais j'ai quand même l'impression qu'on savait ce que c'est qu'un corps, puisqu'on démontrait que Z/pZ est un corps si et seulement si p est premier! Ou alors c'était en Terminale?

    -- françois

  28. #23
    GuYem

    Re : égalité de deux polynomes

    Citation Envoyé par fderwelt
    J'avoue que la 1ère c'est loin pour moi... mais j'ai quand même l'impression qu'on savait ce que c'est qu'un corps, puisqu'on démontrait que Z/pZ est un corps si et seulement si p est premier! Ou alors c'était en Terminale?

    -- françois
    !!!!
    Pour moi ça a été en troisième année. Tout se perd mes bons amis.
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  29. #24
    matthias

    Re : égalité de deux polynomes

    Citation Envoyé par fderwelt
    J'avoue que la 1ère c'est loin pour moi... mais j'ai quand même l'impression qu'on savait ce que c'est qu'un corps, puisqu'on démontrait que Z/pZ est un corps si et seulement si p est premier! Ou alors c'était en Terminale?
    Tout ça se fait au minimum à BAC+1 aujourd'hui. Les prépas le font en Sup, et à la Fac je ne sais pas, ça doit dépendre.

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  31. #25
    fderwelt

    Re : égalité de deux polynomes

    À GuYem et matthias:

    Réflexion faite, c'était en Terminale (TC à l'époque). Et je me souviens que ça nous avait marqué comme la première vraie jolie démonstration d'Algèbre à laquelle on avait eu droit.

    Mais alors, qu'est-ce qu'ils font maintenant avant le bac? Je commence à me sentir vieux, mais vieux...

    -- françois

  32. #26
    GuYem

    Re : égalité de deux polynomes

    Pleure pas François, la vieillesse, ça s'arrange avec le temps.
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  33. #27
    CherinaM

    Re : égalité de deux polynomes

    Citation Envoyé par matthias
    Oui, mais bon, en première S, on ne voit [pas] les polynômes (juste les fonctions polynomiales)

    euh c'est quoi la différence?!
    maintenant, en terminale, on ne fait rien de compliqué, on ne fait qu'approfondir les connaissances acquises en 1ère... le truc de Z/pZ en tout cas, je n'ai jamais vu... peut-être que je vais voir bientôt, qui sait?
    tenez, si ça vous intéresse de voir ce qu'on fait en ce temps! ftp://trf.education.gouv.fr/pub/edut...hs4/maths2.pdf

  34. #28
    fderwelt

    Re : égalité de deux polynomes

    Merci.

    C'est effrayant. Au programme: "Congruences dans Z". Commentaire: "Toute introduction de Z/nZ est exclue.".

    os'cours. (et pas que de vieillesse)

    -- françois

  35. #29
    Eric78

    Re : égalité de deux polynomes

    Citation Envoyé par matthias
    Tout ça se fait au minimum à BAC+1 aujourd'hui. Les prépas le font en Sup, et à la Fac je ne sais pas, ça doit dépendre.
    Les groupes, anneaux, corps, algèbres ne sont étudiés qu'en spé. En sup on fait surtout de l'algèbre linéaire, on ne voit quasiment que les définitions de ces structures.
    Pour un TPE sur la cryptographie ou les trous noirs, allez voir mon profil.

  36. #30
    Geminga

    Re : égalité de deux polynomes

    Eh bien merci à tous vous m'avez bien aidé, et je vous remercie aussi de m'avoir expliqué l'identification ( c'est surtout le nom qui m'a perturbé )je pense avoir compri je vait pouvoir faire les autres exercices

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