J'ai feuilleté vite fait "Le fascinant nombre Pi" aujourd'hui, et j'ai vu ce résultat étonnant:
est à peu près égal à Pi (quelques milliards de décimales identiques).
Vous savez d'où sort cette série, à qui on la doit ? J'aimerais bien avoir plus d'info.
PS: j'ai mis le résultat de mémoire, j'espère que je n'ai pas fait d'erreur.
Bouh elle me fait peur ta série avec ses deux infinis, je la réécris
C'est vachement mieux non ?
Salut,
C'est pas tout simplement lié au fait que? La série est une approximation de l'intégrale, et les 105 et 1010 permettent d'être encore plus proches.
Bonsoir,Envoyé par matthias
est à peu près égal à Pi (quelques milliards de décimales identiques).
quand tu dis que c'est à peu près égal à Pi, comment doit-on l'interpréter ?
Est ce que ça veut dire que :
-on n'a pas pu faire un lien direct entre cette expression et Pi, mais qu'en calculant ce nombre, les quelques milliards de décimales qu'on a identifiés sont les mêmes que celles de Pi, ce qui ne permet pas de conclure à l'égalité avec Pi
OU
-ça veut dire qu'il existe des décimales de ce nombre qui sont différentes de décimales de Pi, même si un très grand nombre sont égales ?
Je ne sais pas si j'ai été clair.
Bonsoir,
Je crois que l'intégrale donnée pare CoinCoin est la clé de l'explication. Les facteurs 10^5 ou 10^10 assurent seulement que l'on a une bonne approximation même pour n relativement faible.
Après, à chacun de démontrer la convergence de ladite intégrale vers SQRT(Pi)...
-- françois
Merci Coincion, je n'avais pas du tout pensé à ça. C'est tout de suite moins surprenant
BonjourMerci Coincion, je n'avais pas du tout pensé à ça. C'est tout de suite moins surprenant
Ce qui reste surprenant (pour moi) ce sont les milliards de décimales annoncés. La méthode des rectangles avec un pas de 10^(-5) ne devrait pas être aussi précise, même en allant jusqu'à des n très grands.
NB en tout état de cause, il faut au moins calculer 300 000 termes pour avoir une précision d'une décimale !
Si quelqu'un avait le bouquin sous la main pour vérifier le nombres de décimales ce serait sympa en effet.
Il est assez clair que l'erreur commise ici va être assez nettement inférieure à l'erreur max prévue de manière grossière par la méthode des rectangles car l'erreur côté positif est compensée en partie par l'erreur côté négatif.
Faudrait regarder s'il y a moyen d'utiliser ça pour obtenir une meilleure majoration de l'erreur commise.
Bonsoir
Oui, il est vrai que la symétrie améliore la précision. De fait on passe de la méthode des rectangles à celle des trapèzes. L'erreur devrait donc être en h² en non en h, ce qui veut dire une dizaine de décimales.
Pourtant, après avoir testé des cas plus simples, il semble que tu as raison : en prenant 1 au lieu de 10^5, la précision est déjà élevée (3,1422). Avec 1,5 on passe à 3,141 592 656.
Cette extraordinaire précision tient manifestement à la fonction elle-même.
D'ailleurs, en utilisant les formules d'Euler-MacLaurin, on trouve que l'erreur d'intégration est égale à zéro, quel que soit le pas d'intégration. Cela provient du fait que les dérivées impaires de la fonction s'annulent en zéro et l'infini. Toutefois, je reste méfiant avec ces séries semi-convergentes.
La même méthode appliquée à la fonction cos(x) entre -pi/2 et pi/2 fait bien apparaître une erreur en h² (où h est le pas d'intégration).
Finalement, cette formule m'apparaît aujourd'hui comme bien plus extraordinaire qu'hier !
Salut à tous,
plutôt que l'intégrale de Gauss, l'identité de Jacobi me paraît plus pertinente :
En prenant
Je pense que l'estimation donnée ne doit pas être trop difficile à établir étant donné la rapidité de convergence du membre de droite...
Cordialement.
* n=0.
C'est un truc qui vient des fonctions theta ça non ?
Faudra que je m'y mette un jour.
Merci MartiniBird, ainsi c'est bien 42 milliards de décimales de pi que l'on obtient avec la formule de Mathias.
Avec, plus modestement 10 au lieu de 10^5, on arrive quand même à 400 décimales avec le calcul de 600 termes.
Salut,
oui c'est une des premières fonctions theta et la formule ci-dessus (qui est une application de la formule de Poisson) a été par exemple utilisée par Riemann pour démontrer l'équation fonctionnelle de sa fonction zeta.
Cordialement.
