Egalité entre deux complexes?

[invitebc0d17ee]

Bonjour à tous! J'ai une question de mon DM de maths ou je bloque, voici l'énnoncé:

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O;u;v).
On note A et B les points d'affixes respectives 1 et i.
A tout point M, distinct de A et d'affixe z, est associé le point M' d'affixe Z définie par : Z= [(1-i)(z-i)]/(z-1).

La question ou je bloque est celle-ci :
Soit z=x+iy où x et y désignent deux nombres réels
Montrer l'égalité :
Z=[(x-1)²+(y-1)²-1]/[(x-1)²+y²] cette fraction précédente -i[(x²+y²-1)/((x-1²)+y²)]

J'ai pensé qu'il fallait trouver légalité entre les deux Z, et je sais que pour que deux nombres complexes soient égaux, ils faut qu'ils aient la même partie réel et la même partie imaginaire. j'ai donc éssayer de calculer les 2 Z, mais je n'arrive pas à une égalité...

merci de vos réponces
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[invitea3eb043e]

C'est sûr que si tu remplaces z par x+iy dans la première espression, tu ne trouves pas l'expression de la seconde, qui voudrait dire que Z est toujours réel, ce qui est évidemment faux.
Tu n'aurais pas sauté quelques éléments, par hasard ?

[invitebc0d17ee]

alors la question précédente était :
1. calculer l'affixe du point C' associé au point C d'affixe -i

pour celle-ci j'avais calculer Z en remplacant z par -i et j'arrivais au résultat 2i ce que je pense être bon.

Et la question 2 est donné direct comme ça :
soir z= x+iy où x et y désignent deux nombres réels

a)montré l'égalité Z = la longue expression que j'ai mis au dessus.

et on nous donne rien d'autre! je trouvais ça byzarre aussi et donc j'ai pensé qu'il fallait montré l'égalité entre le premier Z de l'énnoncé et le second donné en question 2
et quand je fait ça, j'arrive pour Z1 = (x²i+y²i+x²+y²)/(x²+y²)

et Z2 =(x²+y²-2x-2y+1-x²i-y²i+i)/(x²-2x+1+y²)

[invitebc0d17ee]

C'est sûr que si tu remplaces z par x+iy dans la première espression, tu ne trouves pas l'expression de la seconde, qui voudrait dire que Z est toujours réel, ce qui est évidemment faux.
Tu n'aurais pas sauté quelques éléments, par hasard ?

arf !! c'est moi qui ai dut mal m'éxprimer!! le second Z n'est pas strictement réel, en faite il correspond a la première fraction réel moins i(...) celle qui suit

je savais pas comment l'écrire donc c'est possible que ce n'étais pas trop claire dsl...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea3eb043e]

Ben alors, il n'y a pas de problème. Tu prends l'expression de Z et tu multiplies haut et bas par le conjugué du dénominateur, à savoir (x-1)+iy. Tu développes le produit de 3 termes, tu sépares les termes réels et imaginaires, sans oublier que i²=-1 et ça donne ce que tu cherches.
C'est un peu bourin mais ça se fait.