Egalité entre cosinus et sinus

[invitede32eed7]

Bonjour,

Je bloque sur un petit problème depuis hier et je n'arrive pas à m'en sortir :

On a pour tout t :

e^m.t(A.cos(w.t)+B.sin(w.t))=e^n.t(C.cos(v.t)+D.sin(v.t))

J'aimerais trouver une relation entre m et n, A et B, C et D, v et w

J'ai déjà réussi à montrer que A=C

D'où :

e^m.t(A.cos(w.t)+B.sin(w.t))=e^n.t(A.cos(v.t)+D.sin(v.t))

Mais je n'arrive pas à faire mieux.

C'est assez embettant, ce problème m'a l'air simple mais j'ai des doutes sur mes intuitions.

Si quelqu'un pouvait m'aider, je lui en serait reconnaissant.

Merci !
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[invitede32eed7]

Ne vous cassez pas la tete, j'ai trouvé... C'était assz simple en fait !

[invite87912a33]

Ce serait pas mal que tu esposes ta solution quand tu trouves, comme ça si quelqu'un bloque comme toi sur un exercice de ce genre, il n'aura pas besoin de commencer un nouveau sujet...
Bonne continuation.

[invitede32eed7]

Bon, je vais expliquer un peu, si il y a des questions, contactez moi.

On remarque que les deux termes de l'égalité sont solutions d'une même équation différentielle du second ordre.
Ceci nous assure que les pulsations sont égales, donc : v=w.

Ensuite, si on rassemble les exponentiels :

exp [(m-n).t].(A.cos(v.t)+B.sin(v.t))=(A.co s(v.t)+D.sin(v.t))

ce qui implique que m=n.

Il nous reste donc :

A.cos(v.t)+B.sin(v.t))=A.cos(v .t)+D.sin(v.t)

d'où B.sin(v.t) = D.sin(v.t) pour tout t

donc B = D

[A voir en vidéo sur Futura]