cosinus et sinus

[invite2a519dc3]

Comment peut-on démontrer que les fonctions cosinus et sinus n'admettent pas de limites?
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[invite97a92052]

Car elles oscillent entre -1 et 1 sur IR tout entier ? (étant périodiques)
(et en comprenant limite en +/- l'infini)

[Bleyblue]

Tu veux une démonstration rigoureuse ?

Je ne la connais pas mais en tout cas la définition "intuitive" d'une limite c'est "le nombre vers lequel tend f(x) si x tend vers a" et comme cos(x) et sin(x) oscillent indéfiniment entre -1 et 1 etne tendvers aucun nombre lorsque x tend vers l'infini les carottes sont cuites et la limite n'existe pas ...

[Bleyblue]

Dis, elle n'admet pas de limites en + ou - l'INFINI hein
Mais elle en admet une pour tout nombre réel ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9c9b9968]

On peut le montrer trivialement par caractérisation séquentielle (enfin c'est trivial si on connaît la définition d'une limite )

Quand une fonction f admet une limite a en l'infini, alors pour toute suite xn tendant vers l'infini f(x_n) admet a comme limite en l'infini (ici a est pris au sens large, a peut être réel ou ou

Or il se trouve que pour la fonction sinus, si je prend et on a bien x_n et y_n tendant vers l'infini, mais l'on a pour tout n et donc

voilà,

@+

[invitea77054e9]

On revient à la définition de la limite d'une fonction d'une variable réelle en l'infini:

"pour tout A, il existe un B, tel que, pour x>B, lf(x)-Ll<A"

Ceci caractérise le fait que f admet L pour limite en +infini

Supposons donc que la fonction cosinus admette une limite L en +infini

Prenons A=L, alors il existe un B tel que:
pour tout x>B, lcos(x)-Ll<L

Vu la périodicité de la fonction cosinus, on sait qu'il existe un K>B tel que K soit congru à 0 modulo PI/2.
Donc pour ce K, on a:
lcos(K)-Ll<L, i.e lLl<L .
C'est absurde!

Donc la fonction cosinus n'admet pas de limite en l'infini, et il en va de meme pour la fonction sinus, si on use du meme raisonnement.

Si on n'a pas l'habitude de manipuler ce type de raisonnement, on remarque simplement que si la fonction cosinus admettait une limite en l'infini, elle ne pourrait être périodique (ou alors elle serait identiquement nulle!).

[invitec314d025]

Vu la périodicité de la fonction cosinus, on sait qu'il existe un K>B tel que K soit congru à 0 modulo PI/2.

ça marchera encore mieux avec K congru à pi/2 modulo pi (on veut cos(K) = 0)
il faudrait aussi préciser A > 0, ce qui fait que ta démo n'est pas valable pour L=0, mais bon, ça se fait sans problème

[invitea77054e9]

Merci pour ces rectifications Matthias, j'ai effectivement oublié deux trucs importants.
C'est la premiere fois que j'utilise des "pour tout epsilon, il existe..." dans une démo (remarque il était temps!). La prochaine fois j'essayerais d'tre plus rigoureux.

[invite9c9b9968]

voilà ma démo elle évite ce genre de problèmes
bon

[invite2a519dc3]

Excusez moi mais je ne suis qu'en première et je n'est pas vu tous cela.

[invitea77054e9]

Arf, effectivement si tu es en première, ces démonstrations ne te seront pas d'une grande utilité.

Si on a le droit de ne pas etre rigoureux, alors on peut le démontrer de plusieurs manières, comme celles qui suivent:

Si cosinus admet une limite L en +inifini, alors à partir d'un certain x suffisamment grand, x+Pi/2 est environ égal à x, et on a cos(x+PI/2) environ égal à cos(x), c'est-à-dire cos(x+Pi/2)/cos(x) environ égal à 1. (ceci pour un x suffisamment grand, rapellons-le)
Or cos(x+Pi/2)=sin(x), donc sin(x)/cos(x) environ égal à 1. Or sin(x)/cos(x) est égal à tan(x), qui n'admet pas de limite (je tourne en rond là ), et n'est pas constamment proche de 1 .
Bref une pseudo-démonstration à vite oublier .


Autrement, on peut simplement dire que pour tout x, cos(x+Pi/2) est différent de cos(x) (sauf peut-etre en Pi/4 modulo PI), et a fortiori, même en tendant vers l'infini, cosinus ne pourra admettre de limite en +infini, auquel cas on aurait à partir d'un certain x assez grand cos(x+Pi/2) aussi proche de cos(x) que l'on veut, ce qui est absurde!...ok on va aussi l'oublier cette démo .

[invite9c9b9968]

Arf, effectivement si tu es en première, ces démonstrations ne te seront pas d'une grande utilité.

je ne suis pas d'accord, ce n'est pas parce qu'elle est en 1ere que les démos proposées sont à oublier, elle a les outils pour les comprendre sans problèmes.

[invitea77054e9]

S'il s'agit de comprendre pourquoi les fonctions sinus et cosinus n'admettement pas de limite en l'infini, il est effectivement envisageable d'utiliser les démo citées plus haut. S'il s'agit de répondre à un exo poser par un prof, je pense qu'il vaut mieux trouver quelque chose en relation avec ce qu'on voit en première.

Disons qu'elle peut tout à fait comprendre les démo, mais dans un langage un peu moins "mathématique". La démo n'est pas difficile, il s'agit juste de la poser de la manière la plus pédagogique qui soit.

[inviteeffbafd1]

Je me souviens en première on avait fait une démonstration pas très très rigoureuse mais très bien pour des élèves de première,je ne me souviens plus exactement mais c'était en partant de:
sin(X)^2+cos(X)^2=1
Et après on arriver à l'affirmation qu'elles n'avaient pas de limites en +oo et -oo mais par contre c'est faux de dire ça:
"Comment peut-on démontrer que les fonctions cosinus et sinus n'admettent pas de limites?"
car elles ont des limites...