[Maths] [L1] Egalite avec sinus hyperbolique

[invite58b84884]

Bonjour,
J'ai un exercice qui parrait pas tres compliqué mais je bloque, le voici :

Résoudre l'égalité sinh x = 2 (x E R)

Donc Je sais que sinh x = (e^x-e^-x)/2 alors je remplace dans l'égalité :
(e^x-e^-x)/2 = 2
(e^x-e^-x) = 4
On a ln(e^x)=x et e^lnx=x
donc ln(e^x-e^-x)= ln(4)
mais ln(a+b) est différent de ln(a)+ln(b) puisque ln(a)+ln(b)=ln(ab)
et ici je ne vois pas comment developper le membre de gauche afin de tomber sur x=.... ; donc je m'en remet à vous pour la fin (en détaillant la réponse si possible si il y a une étape un peu délicate!)

Merci d'avance!
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[Médiat]

Bonjour,
J'ai un exercice qui parrait pas tres compliqué mais je bloque, le voici :

Résoudre l'égalité sinh x = 2 (x E R)

(e^x-e^-x) = 4

En multipliant les deux membres par et avec un ch'ti changement de variable ...

[invite58b84884]

Je viens de trouver la reponse

sinh x = 2

(e^x-e^-x)/2 = 2
(e^x-e^-x) = 4

Ensuite on multiplie par e^x :

e^x(e^x-e^-x) = 4e^x

Ce qui nous donnes :

e^2x-4e^x-1 = 0

Puis nous factorisons :

(e^x)²-(2*2*e^x)+2²-5 = 0
(e^x-2)²-5 = 0
(e^x-2)² = 5
e^x-2 = +sqrt(5) et e^x-2 = -sqrt(5)

avec sqrt(..) la racine carrée (je ne sais pas comment l'écrire! )

e^x = 2+sqrt(5) et e^x = 2-sqrt(5)

Et en multipliant par le logarithme neperien :

x1 = ln(2+sqrt(5)) et x2 = ln(2-sqrt(5))

Etant donné que 2-sqrt(5) < 0 et que ln est définie sur R^+*, la solution est x = ln(2+sqrt(5)) .