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Exercice: developpement en series entieres



  1. #1
    titiii30

    Exercice: developpement en series entieres


    ------

    Bonjour à tous,

    Je suis élève en MP et cela fait 2 jours que je bloque sur un exercice nouveau pour moi et, ayant toujours été satisfait par les réponses apportées sur futura-sciences je viens demander un peu d'aide.. Voila le court enoncé :

    Soit f: x-> f(x)=intégrale de -l'infini à x de dt/(1+t^2+t^4)

    Développer f en séries entieres

    Voila j'ai donc d'abord montrer que f etait dérivable puis j'ai décomposé sa dérivé 1/(1+t^2+t^4) en éléments simples puis la je bloque..

    Merci enormement d'avance pour vos reponses.

    Ps: j'ai posté ce message dans cette section la du forum car je n'arrive pas à la poster dans la section "Exercices pour les concours et examens"

    -----

  2. #2
    martini_bird

    Re : Exercice: developpement en series entieres

    Salut,

    grosso modo, tu obtiens la somme est le nombre d'or et .

    Maintenant, c'est pas bien difficile de développer ...

    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  3. #3
    titiii30

    Re : Exercice: developpement en series entieres

    Bin non votre decomposition en elements simples est celle de 1/(t^4+t^2-1) et pas celle de 1/(t^4+t^2+1) qui n'admet que des racines et complexes. La difficulté est la...

  4. #4
    echecetmat

    Re : Exercice: developpement en series entieres

    La décomposition de 1/(t4+t2+1) donne
    ((t+1)/(t2+t+1)+(-t+1)/(t2-t+1))/2
    = ((1+t)/((t+1/2)2+3/4)+(1-t)/((t-1/2)2+3/4))/2
    Il ne reste qu'à trouver la primitive de chacune de ces deux fonctions. Pour cela, un petit changement de variable du genre y=t+1/2 (et y=t-1/2 pour l'autre fonction). Ensuite on se rappelle que la primitive de f(t)=1/(a2+t2) est
    F(t)=1/a*arctg(t/a) + C
    pour la primitive de g(t)=t/(a2+t2), il faut intégrer par partie
    G(t)=t/a*arctg(t/a)-primitive de (arctg(t/a))/a
    La primitive de arctg(t/a)=t*arctg(t/a)-a/2*Ln(a2+t2)

    Ensuite, on connait le développement des fonctions arctg et Ln. C'est long, mais le bout du tunnel est en vue. Rame galérien, rame ....

    A+

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    martini_bird

    Re : Exercice: developpement en series entieres

    Citation Envoyé par titiii30 Voir le message
    Bin non votre decomposition en elements simples est celle de 1/(t^4+t^2-1) et pas celle de 1/(t^4+t^2+1) qui n'admet que des racines et complexes. La difficulté est la...
    Racine complexe ou pas, ton polynôme se factorise dans R ! Tu n'as qu'à remplacer par . Du reste, echecetmat t'as décrit la factorisation...

    Complément : il n'est pas utile d'intégrer, il suffit de se servir de la série géométrique .

    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

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