Exercice: developpement en series entieres

[invite3b6b450c]

Bonjour à tous,

Je suis élève en MP et cela fait 2 jours que je bloque sur un exercice nouveau pour moi et, ayant toujours été satisfait par les réponses apportées sur futura-sciences je viens demander un peu d'aide.. Voila le court enoncé :

Soit f: x-> f(x)=intégrale de -l'infini à x de dt/(1+t^2+t^4)

Développer f en séries entieres

Voila j'ai donc d'abord montrer que f etait dérivable puis j'ai décomposé sa dérivé 1/(1+t^2+t^4) en éléments simples puis la je bloque..

Merci enormement d'avance pour vos reponses.

Ps: j'ai posté ce message dans cette section la du forum car je n'arrive pas à la poster dans la section "Exercices pour les concours et examens"
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[invite4793db90]

Salut,

grosso modo, tu obtiens la somme où est le nombre d'or et .

Maintenant, c'est pas bien difficile de développer ...

Cordialement.

[invite3b6b450c]

Bin non votre decomposition en elements simples est celle de 1/(t^4+t^2-1) et pas celle de 1/(t^4+t^2+1) qui n'admet que des racines et complexes. La difficulté est la...

[invite6d584275]

La décomposition de 1/(t4+t2+1) donne
((t+1)/(t2+t+1)+(-t+1)/(t2-t+1))/2
= ((1+t)/((t+1/2)²+3/4)+(1-t)/((t-1/2)²+3/4))/2
Il ne reste qu'à trouver la primitive de chacune de ces deux fonctions. Pour cela, un petit changement de variable du genre y=t+1/2 (et y=t-1/2 pour l'autre fonction). Ensuite on se rappelle que la primitive de f(t)=1/(a²+t²) est
F(t)=1/a*arctg(t/a) + C
pour la primitive de g(t)=t/(a²+t²), il faut intégrer par partie
G(t)=t/a*arctg(t/a)-primitive de (arctg(t/a))/a
La primitive de arctg(t/a)=t*arctg(t/a)-a/2*Ln(a²+t²)

Ensuite, on connait le développement des fonctions arctg et Ln. C'est long, mais le bout du tunnel est en vue. Rame galérien, rame ....

A+

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4793db90]

Bin non votre decomposition en elements simples est celle de 1/(t^4+t^2-1) et pas celle de 1/(t^4+t^2+1) qui n'admet que des racines et complexes. La difficulté est la...

Racine complexe ou pas, ton polynôme se factorise dans R ! Tu n'as qu'à remplacer par . Du reste, echecetmat t'as décrit la factorisation...

Complément : il n'est pas utile d'intégrer, il suffit de se servir de la série géométrique .

Cordialement.