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series entieres



  1. #1
    r-one

    series entieres


    ------

    Bonjour,
    Je revise un peu les series entieres pour les concours (j'en ai bien besoin apparement ) et je suis tombé sur un exo que je comprends que dalle ...
    Pouvez vous m'aider ?

    (1) Developper en serie entiere la fraction rationnelle :
    En déduire la valeur de est le nombre de points entiers naturels (x,y,z) vérifiant : 2x+4y+6z=n.

    (2) Quel est le rayon de convergence de cette serie . Quelle est la nature de la série

    (3) Comment calculer, bn , le nimbre de points entiers naturels (x,y,t,z) vérifiant : 2x + 7y + z + 3t = n

    Merci de votre aide...

    -----

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  3. #2
    martini_bird

    Re : series entieres

    Salut,

    je propose une solution, pas très "astucieuse", mais qui fonctionne: en posant u=t², la série cherchée est le triple produit



    Or


    et

    d'où les coefficients:


    Celà répond à la première partie du 1).

    Je te laisse chercher la suite (il faut utiliser le triple produit ci-dessus).

    A+

  4. #3
    r-one

    Re : series entieres

    Merci pour ta réponse , je v essayer de comprendre tout ca et de faire la suite ...
    Merci
    a+++

  5. #4
    Gwyddon

    Re : series entieres

    en scindant la fraction en 1/(1-t^2), 1/(1-t^4) et 1/(1-t^6) avec quelques coefficients derrières, on peut s'en sortir non ?
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  6. #5
    martini_bird

    Re : series entieres

    Citation Envoyé par 09Jul85
    en scindant la fraction en 1/(1-t^2), 1/(1-t^4) et 1/(1-t^6) avec quelques coefficients derrières, on peut s'en sortir non ?
    Salut,

    hum, m'est avis qu'il faudrait que tu revoies la décomposition d'une fraction rationnelle en éléments simples.

    Cordialement.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Gwyddon

    Re : series entieres

    Citation Envoyé par martini_bird
    Salut,

    hum, m'est avis qu'il faudrait que tu revoies la décomposition d'une fraction rationnelle en éléments simples.

    Cordialement.
    grr...

    m'est avis que tu n'as pas compris ma démarche. Je ne voulais pas décomposer en élément simples, du moins pas jusqu'au bout, je voulais juste scinder en petits morceaux pour avoir des termes développables aisément.

    Bon je fais le calcul et je reviens te montrer ce que je souhaitais faire
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

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  10. #7
    Gwyddon

    Re : series entieres

    Citation Envoyé par martini_bird
    hum, m'est avis qu'il faudrait que tu revoies la décomposition d'une fraction rationnelle en éléments simples.
    ok j'ai compris pourquoi tu dis ça, quand je parlais des coefficients, ces coefficients dépendaient aussi de x, x^2, etc...
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  11. #8
    martini_bird

    Re : series entieres

    Citation Envoyé par 09Jul85
    grr...

    m'est avis que tu n'as pas compris ma démarche.
    Ben, tu voulais décomposer la fraction sous la forme
    ?

    Citation Envoyé par 09Jul85
    Je ne voulais pas décomposer en élément simples, du moins pas jusqu'au bout, je voulais juste scinder en petits morceaux pour avoir des termes développables aisément.

    Bon je fais le calcul et je reviens te montrer ce que je souhaitais faire
    J'attends...

    Amicalement.

  12. #9
    Gwyddon

    Re : series entieres

    bon c'est infernal, tout aussi compliqué sinon plus que ta méthode, on oublie ma proposition (mais note bien qu'elle fonctionne, elle amène juste à résoudre un système de 9 équations à 9 inconnues...)
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  13. #10
    martini_bird

    Re : series entieres

    J'ai compté douze inconnues car

    et donc


    Bref, c'est clair que c'est faisable, mais après tu fais quoi des derniers termes ?

  14. #11
    Gwyddon

    Re : series entieres

    salut,

    bon en fait ma démarche ne fonctionne absolument pas... Je vais montrer ce que je souhaitais faire avec c'est moins long à écrire ;

    L'idée était d'écrire et de calculer les bon coefficients.

    Je ne voulais donc pas décomposer en éléments simples (car je sais qu'il reste des termes que je sais pas développer). Mais ça ne va pas, donc mea culpa pour avoir bêtement insisté.
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  15. #12
    Gwyddon

    Re : series entieres

    bon je ne vois rien d'autre que les produits de cauchy de martini_bird, si quelqu'un a une autre solution plus élégante, qu'il n'hésite pas
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

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  17. #13
    r-one

    Re : series entieres

    salut !
    je comprends pas le cheminement pour arriver au produit triple que martini_bird a proposé...

  18. #14
    Gwyddon

    Re : series entieres

    tu sais (car tu connais tes DSE classiques...) que pour |t| < 1 on a


    Tu constate ici que pour |t|<1 tu as aussi , donc tu as :



    la suite, c'est martini_bird

    @+
    julien
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  19. #15
    r-one

    Re : series entieres

    A ouiiiiiiiiii je suis trop bete ! merci bien ....

  20. #16
    StrAbZ

    Re : series entieres

    Je fais un peu remonté un vieux sujet, mais je revise avec r-one, donc on a bloqué tt les deux sur l'exo, j'ai posté aussi ce sujet sur un autre forum, et il semble que les reponses different legerement.

    on me propose pour la serie entiere

    avec E(k/2) + 1 dans la somme.

    et pour :

    la meme chose plus E(n/3) + 1

  21. #17
    martini_bird

    Re : series entieres

    Salut,

    j'ai vérifié mes calculs, ma formule est correcte (sauf si je me suis trompé ).

    Il faut être soigneux, mais il n'y a pas de difficulté conceptuelle: il suffit d'appliquer la règle pour le produit de deux séries.

    Cordialement.

  22. #18
    matthias

    Re : series entieres

    Citation Envoyé par martini_bird
    On est d'accord.

    Citation Envoyé par martini_bird
    Il me semble que :


    Citation Envoyé par martini_bird
    J'ai donc:



    Citation Envoyé par martini_bird
    Ce qui donnerait:


    Il est tout à fait possible que je me trompe. Si c'est le cas pouvez-vous me dire où et pourquoi ?

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  24. #19
    martini_bird

    Re : series entieres

    Tu as raison, matthias.

    Citation Envoyé par martini_bird
    Salut,

    j'ai vérifié mes calculs, ma formule est correcte (sauf si je me suis trompé ).
    Je me suis trompé.

    Citation Envoyé par martini_bird
    Il faut être soigneux, mais il n'y a pas de difficulté conceptuelle: il suffit d'appliquer la règle pour le produit de deux séries.
    Pour le soin, je repasserai!

    A+

    PS: Il n'y a pas de smiley avec un bonnet d'âne...

  25. #20
    matthias

    Re : series entieres

    Citation Envoyé par martini_bird
    Tu as raison, matthias.
    Je n'étais pas vraiment sûr...

    Citation Envoyé par martini_bird
    PS: Il n'y a pas de smiley avec un bonnet d'âne...
    Aucune raison, c'est en essayant de comprendre tes calculs quand la question est apparue sur un autre forum que j'ai été étonné de trouver un résultat légèrement différent.

    Sinon je me suis amusé à calculer les coefficients , je ne suis pas sûr que ce soit utile, ça donne un truc assez ignoble, mais je vais le poster pour avoir un avis.

  26. #21
    matthias

    Re : series entieres

    On a donc:


    En utilisant:


    Je trouve ce truc ignoble:


    Et comme je n'avais vraiment rien à faire, j'ai poussé un peu plus loin:






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