Un produit scalaire parmi les produits scalaires...

[Yadlajoie]

Bonjour,

J'aimerais savoir : si, lorsqu'on démontre une propriété d'un produit scalaire, s'applique-t-elle à tous les produits scalaires du même espace ? Je m'explique : par exemple, pour montrer que, si X et Y sont des matrices colonnes à n lignes et si A est une matrice carrée d'ordre n, on a (AX.Y)=(X.(transposée de A)*Y) Suffit-il alors de prendre le produit scalaire dans les matrices colonnes :
(X.Y)=(transposée de X)*Y de démontrer la relation avec ce produit scalaire et de généraliser ?
Si oui, pourquoi ?
Merci d'avance
-----

[martini_bird]

Salut,

le produit scalaire (X,Y)=^t X.Y est un cas particulier (la matrice qui le représente est la matrice identité).

Par exemple, l'adjoint d'une matrice pour un produit scalaire quelconque n'est pas forcément la transposée.

Contre-exemple: dans R², considère le produit scalaire (X,Y)=^t X.A.Y avec A=, ou, en terme de coordonnées: (X,Y)=x₁y₁+2x₂y₂.

Soit M une matrice 2x2 (par exemple ): son adjoint M* est défini par (MX,Y)=(X, M*Y). En faisant le calcul, tu constateras que M* n'est pas la transposée de M.

Cordialement.

[Yadlajoie]

Merci beaucoup...
Ce que je ne comprends pas alors, c'est que j'ai un sujet de concours (ccp 2000 Mathématiques filière PC), où on ne définit aucun produit scalaire, puis on nous demande de démontrer cette propriété...
Donc ce doit être une erreur d'énoncé...ou alors, par convention, ça correspond au produit scalaire canonique...

Merci encore

[GuYem]

Si on ne t'a pas donné explicitement de produit scalaire dans l'énoncé et qu'il en apparait un comme par magie dans une question c'est que c'est le canonique. Surtout si tu travailles sur R^n !

[A voir en vidéo sur Futura]

[Yadlajoie]

Merci GuYem. Mais, ça peut être un produit scalaire général, c'est-à-dire une propriété qui s'étend sur tous les produits scalaires de l'expace considérés...

Je voudrais revenir sur la réponse de martini_bird : l'adjoint de l'endomorphisme u (dont la matrice est M) a pour matrice dans la même base la transposée de M, justement.
D'ailleurs, avec le produit scalaire défini, on a :
(MX,Y)=^t (MX)AY=^t X^t MAY
et on a ^t MA=A^t M pour tout A
Donc (MX,Y)=^t XA(^t MY)=(X,^t MY)

Ne peut-on pas expliquer tout ça par le fait, qu'il suffit de se placer dans une base orthonormale, et si X et Y sont les matrices colonnes des vecteurs x et y dans cette base, on a alors :
(x,y)=^t XY
et ceci pour tout produit scalaire ?

Merci

[martini_bird]

Salut,

et on a ^t MA=A^t M pour tout A

Pourquoi?

[Yadlajoie]

J'étais justement en train de revenir sur le forum pour corriger ma faute... Désolé pour le préjudice...il est tard...
Mais je n'arrive pas à justifier dans l'exemple donné, mais tout le reste est juste, non ? On a bien M*=^t M, ce qu'on peut justifier en passant à une base orthonormale :
(u(x),y)=(x,u*(y)) ssi ^t (MX)Y=^t X(M*Y) (si M, X et Y sont exprimées dans une base orthonormale)
ssi ^t X^t MY==^t X(M*Y)
Ceci est vrai pour tout X et Y, donc
M*=^t M

C'est juste ?
Merci encore

[Yadlajoie]

Je viens à nouveau de me rendre compte de mon erreur : M*=^t M seulement dans une base orthonormale...

[GuYem]

Et surtout M* = transposé(M) seulement pour le produit scalaire canonique! C'est ce qu'a voulu te montrer Martini :

Si tu prends deux produits scalaires différents (sur R^n) et la même matrice M, tu peux trés bien ne pas avoir la même matrice adjointe.

[martini_bird]

Et surtout M* = transposé(M) seulement pour le produit scalaire canonique!

Pas tout à fait: M*=^tM à condition que la matrice M soit exprimée dans une base orthonormée.

Cordialement.

[Yadlajoie]

Merci à tous les deux, tout va mieux dans ma petite tête...

[GuYem]

Pas tout à fait: M*=^tM à condition que la matrice M soit exprimée dans une base orthonormée.

Cordialement.

Bon alors on va faire une jolie phrase qui va palire à tout le monde :

M*=^tM à condition que la matrice M soit exprimée dans une base orthonormée pour le p^roduit scalaire canonique.

[martini_bird]

Bon alors on va faire une jolie phrase qui va palire à tout le monde :

M*=^tM à condition que la matrice M soit exprimée dans une base orthonormée pour le p^roduit scalaire canonique.

Salut,

désolé d'insister, M*=^tM à condition que la matrice M soit exprimée dans une base orthonormée... pour le produit scalaire considéré (et pas forcément le produit scalaire canonique).

[GuYem]

Bin oui!
J'ai dit plein de bétises sans reflechir. Excusez-moi.

Si on a un produit scalaire et une matric M exprimé dans une base orthonormée (pour ce PS) alors la matric adjointe de M s'écrit transposée(M) dans cette base...
Tout simplement à cause de la formule

<X,Y> = trans(X) * A * Y ou A représente la matrice du PS dans une base orthonormée.

J'espère ne pas encore en raconter de plus grosses que moi...