bonjour,
quelqu´un peut-il m´expliquer en une phrase la différence entre une série entière et une série formelle? Je n´arrive pas à faire la distinction.
Je viens même de lire qu´une série entière est une série formelle qui converge. Ca m´a plus troublé qu´éclairé!
Merci d´avance
Une série formelle ne prend pas de valeurs, c'est juste une suite de coefficients. C'est comme la différence entre un polynôme et une fonction polynômiale. Donc tu n'as pas à t'inquiéter de convergence sur une série formelle.
Donc d´après ce que tu écris, une série formelle est comparable à une fonction polynôme et une série entière et comparable à un polynôme?
Et cette explication comme quoi une série entière est une série formelle qui converge, c´est du pipeau?
Non pas vraiment: une série formelle est une série abstraiteEnvoyé par christophe_de_Berlin
et on peut les additionner (terme à terme) et les multiplier: en vref, c'est un anneau.
http://fr.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9rie_formelle
En revanche, tu n'as pas de topologie donc pas de notion de convergence sur l'anneau des séries formelles!
Une série entière est une série de puissances convergente sur un corps muni de sa topologie.
Cordialement.
Plutôt l'inverse.
Tu peux voir les polynômes comme des suites finies (coefficients nuls à partir d'un certain rang) et les séries formelles comme des suites quelconques.
Un peu, une série formelle ne converge pas puisqu'elle ne prend pas de valeurs (ce n'est pas une fonction).
[EDIT: devancé par martini]
bon, merci, je vais voir
D´après ce que tu écrit, une série entiére est toujours convergente?
Oups! non j'ai confondu avec la notion de fonction entière...
Une série entière converge toujours sur un disque ouvert (ou éventuellement sur un singleton, mais bon).
Cela veut-il dire que la notion de topologie est directement liée à la notion de relation d´ordre? Ou est-ce que je confond tout?
Pas vraiment, la notion de topologie sur IR est liée à celle de valeur absolue: c'est elle qui mesure la proximité de deux points.
Grosso modo, une distance définit une topologie (mais il existe des topologies qui ne sont pas déduites de métrique).
???????????
Je voulais bien sûr parler des topologies classiques sur IR, C ou les corps p-adiques...
bonsoir,
pourkoi on restreint la definition de serie entiere a un corps.je pense que c'est possible de definir des qu'on a un K espace vectoriel (c K qui doit etre un corps).
par exemple on definit bien l'exponnentiel d'une matrice
D'autres part d'apres ce que jé compris l'espaces des series formelle n'est rien que l'espace des suites!! c ca oubien j'ai pas compris?
merci
bon, je viens de trouver une définitition assez claire, j´espère qu´elle harmonise avec les réponses que vous m´avez envoyées:
Une série entiere est une série formelle dont le rayon de convergence est non nul
Pas mal non?
Une série formelle, c'est surtout un espace de suites munies d'un produit bizarre, qui s'explique bien quand on le met sous la forme d'une série. Alors qu'une série entière, c'est sensé représenter une fonction : Ce qui n'est effectivement le cas que quand le rayon de convergence est non nul.
Sinon, on peut effectivement définir des séries entières convergentes sur autre chose que des corps. Pour cela, il faut travailler dans une algèbre de Banach, id est un ensemble muni d'une structure d'anneau,d'espace vectoriel normé, complet pour cette norme, et dont la norme vérifie norme(ab)<= norme(A) * norme(B).
Ainsi, il est facile de voir que si une série entière
B est alors la limite de la série, qui est convergente par le critère de Cauchy.
Dans la pratique, c'est très utile. Notamment, ça permet de définir les exponentielles de matrices (carrées). Ainsi, si on veut résoudre l'équation différentielle
y' = Ay
y(t=0) = c, c élément de R^N
où y:[0,T]-> R^N, et A est une matrice carrée de taille N*N.
alors
y(t) = exp(tA) *c
où exp(tA) est une matrice carrée N*N.
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rvz
