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séries entières et formelles



  1. #1
    christophe_de_Berlin

    séries entières et formelles

    bonjour,

    quelqu´un peut-il m´expliquer en une phrase la différence entre une série entière et une série formelle? Je n´arrive pas à faire la distinction.

    Je viens même de lire qu´une série entière est une série formelle qui converge. Ca m´a plus troublé qu´éclairé!

    Merci d´avance

    -----


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  3. #2
    matthias

    Re : séries entières et formelles

    Une série formelle ne prend pas de valeurs, c'est juste une suite de coefficients. C'est comme la différence entre un polynôme et une fonction polynômiale. Donc tu n'as pas à t'inquiéter de convergence sur une série formelle.

  4. #3
    christophe_de_Berlin

    Re : séries entières et formelles

    Donc d´après ce que tu écris, une série formelle est comparable à une fonction polynôme et une série entière et comparable à un polynôme?

    Et cette explication comme quoi une série entière est une série formelle qui converge, c´est du pipeau?

  5. #4
    martini_bird

    Re : séries entières et formelles

    Citation Envoyé par christophe_de_Berlin
    Donc d´après ce que tu écris, une série formelle est comparable à une fonction polynôme et une série entière et comparable à un polynôme?

    Et cette explication comme quoi une série entière est une série formelle qui converge, c´est du pipeau?
    Non pas vraiment: une série formelle est une série abstraite et on peut les additionner (terme à terme) et les multiplier: en vref, c'est un anneau.

    http://fr.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9rie_formelle

    En revanche, tu n'as pas de topologie donc pas de notion de convergence sur l'anneau des séries formelles!

    Une série entière est une série de puissances convergente sur un corps muni de sa topologie.

    Cordialement.

  6. #5
    matthias

    Re : séries entières et formelles

    Citation Envoyé par christophe_de_Berlin
    Donc d´après ce que tu écris, une série formelle est comparable à une fonction polynôme et une série entière et comparable à un polynôme?
    Plutôt l'inverse.
    Tu peux voir les polynômes comme des suites finies (coefficients nuls à partir d'un certain rang) et les séries formelles comme des suites quelconques.

    Citation Envoyé par christophe_de_Berlin
    Et cette explication comme quoi une série entière est une série formelle qui converge, c´est du pipeau?
    Un peu, une série formelle ne converge pas puisqu'elle ne prend pas de valeurs (ce n'est pas une fonction).

    [EDIT: devancé par martini]

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    christophe_de_Berlin

    Re : séries entières et formelles

    bon, merci, je vais voir

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  10. #7
    christophe_de_Berlin

    Re : séries entières et formelles

    D´après ce que tu écrit, une série entiére est toujours convergente?

  11. #8
    martini_bird

    Re : séries entières et formelles

    Oups! non j'ai confondu avec la notion de fonction entière...

    Une série entière converge toujours sur un disque ouvert (ou éventuellement sur un singleton, mais bon).

  12. #9
    christophe_de_Berlin

    Re : séries entières et formelles

    Citation Envoyé par martini_bird
    En revanche, tu n'as pas de topologie donc pas de notion de convergence sur l'anneau des séries formelles!
    Cordialement.
    Cela veut-il dire que la notion de topologie est directement liée à la notion de relation d´ordre? Ou est-ce que je confond tout?

  13. #10
    martini_bird

    Re : séries entières et formelles

    Citation Envoyé par christophe_de_Berlin
    Cela veut-il dire que la notion de topologie est directement liée à la notion de relation d´ordre? Ou est-ce que je confond tout?
    Pas vraiment, la notion de topologie sur IR est liée à celle de valeur absolue: c'est elle qui mesure la proximité de deux points.

    Grosso modo, une distance définit une topologie (mais il existe des topologies qui ne sont pas déduites de métrique).

  14. #11
    indian58

    Re : séries entières et formelles

    Citation Envoyé par martini_bird
    Une série entière est une série de puissances convergente sur un corps muni de sa topologie.
    ???????????

  15. #12
    martini_bird

    Re : séries entières et formelles

    Citation Envoyé par indian58
    ???????????
    Je voulais bien sûr parler des topologies classiques sur IR, C ou les corps p-adiques...

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  17. #13
    sadben2004

    Re : séries entières et formelles

    bonsoir,
    pourkoi on restreint la definition de serie entiere a un corps.je pense que c'est possible de definir des qu'on a un K espace vectoriel (c K qui doit etre un corps).
    par exemple on definit bien l'exponnentiel d'une matrice

    D'autres part d'apres ce que jé compris l'espaces des series formelle n'est rien que l'espace des suites!! c ca oubien j'ai pas compris?
    merci

  18. #14
    christophe_de_Berlin

    Re : séries entières et formelles

    bon, je viens de trouver une définitition assez claire, j´espère qu´elle harmonise avec les réponses que vous m´avez envoyées:

    Une série entiere est une série formelle dont le rayon de convergence est non nul

    Pas mal non?

  19. #15
    rvz

    Re : séries entières et formelles

    Une série formelle, c'est surtout un espace de suites munies d'un produit bizarre, qui s'explique bien quand on le met sous la forme d'une série. Alors qu'une série entière, c'est sensé représenter une fonction : Ce qui n'est effectivement le cas que quand le rayon de convergence est non nul.
    Sinon, on peut effectivement d&#233;finir des s&#233;ries enti&#232;res convergentes sur autre chose que des corps. Pour cela, il faut travailler dans une alg&#232;bre de Banach, id est un ensemble muni d'une structure d'anneau,d'espace vectoriel norm&#233;, complet pour cette norme, et dont la norme v&#233;rifie norme(ab)<= norme(A) * norme(B).
    Ainsi, il est facile de voir que si une s&#233;rie enti&#232;re
    a un rayon de convergence R >0 sur C, alors, pour tout A de norme plus petite (strictement) que R, on peut d&#233;finir

    B est alors la limite de la s&#233;rie, qui est convergente par le crit&#232;re de Cauchy.
    Dans la pratique, c'est tr&#232;s utile. Notamment, &#231;a permet de d&#233;finir les exponentielles de matrices (carr&#233;es). Ainsi, si on veut r&#233;soudre l'&#233;quation diff&#233;rentielle
    y' = Ay
    y(t=0) = c, c &#233;l&#233;ment de R^N
    o&#249; y:[0,T]-> R^N, et A est une matrice carr&#233;e de taille N*N.
    alors
    y(t) = exp(tA) *c
    o&#249; exp(tA) est une matrice carr&#233;e N*N.

    __
    rvz

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