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Système d'équations



  1. #1
    amwus

    Système d'équations


    ------

    Bonjour !

    Il y a qque chose que je ne comprend pas très bien dans la résolutio d'un système. Je vais prendre un exemple pour etre plus simple :

    soit le système

    ax+by+cz=1
    x+y+z=c

    Bon, on trouve que le rang de A est >= 1 et est = 2 si a est diff de b ou c.

    Mais dans la résolution, dans le cas où a est diff de b par ex (rang A = 2),
    on décompose la matrice de la façon suivante :

    (a b)(x) + (c)(z)
    (1 1)(y) (1)

    (heu je précise que c'est censé représenter une matrice :s )

    Pouruqoi une telle décomposition ? Je ne comprend pas comment on y arrive et surtout, pourquoi décomposer la matrice de la sorte !

    Merci d'avance !

    -----
    "Black holes are where God divided by zero"

  2. #2
    rvz

    Re : Système d'équations

    Citation Envoyé par amwus
    Bonjour !

    Il y a qque chose que je ne comprend pas très bien dans la résolutio d'un système. Je vais prendre un exemple pour etre plus simple :

    soit le système

    ax+by+cz=1
    x+y+z=c

    Bon, on trouve que le rang de A est >= 1 et est = 2 si a est diff de b ou c.

    Mais dans la résolution, dans le cas où a est diff de b par ex (rang A = 2),
    on décompose la matrice de la façon suivante :

    (a b)(x) + (c)(z)
    (1 1)(y) (1)

    (heu je précise que c'est censé représenter une matrice :s )

    Pouruqoi une telle décomposition ? Je ne comprend pas comment on y arrive et surtout, pourquoi décomposer la matrice de la sorte !

    Merci d'avance !
    En fait, on sait résoudre A X = B, avec A matrice carrée inversible, et c'est tout.
    Dans ton exemple, A est une matrice de rang 2, donc, comme on a trois inconnues, on ne sait pas le résoudre : A n'est pas inversible. Alors on extrait une sous matrice C inversible de taille maximale (ici 2 si a <> b ), et on considère z comme une donnée du problème. Cela n'est pas grave, parce que la théorie nous dit que l'ensemble des solutions est un espace vectoriel de rang 1, et donc on peut indicer les solutions par un paramètre, ici z.
    Et donc on résout
    !a b! !x! !-c z! !-c!
    !1 1! !y! = !-z ! = !-1! * z
    Ainsi, on trouve facilement une unique solution (x,y,z) associé à z, et on obtient une droite vectorielle de solution, et donc la théorie nous dit que c'est exactement l'nsemble des solutions.

    __
    rvz

  3. #3
    amwus

    Re : Système d'équations

    Donc, en gros, il suffit de regarder le nombre d'équations par rapport aux solution et extraire alors un ou éventuellement plusieurs sous matrices ? Si ce n'est que ca, je comprend ok.

    Mais j'avais aussi un autre exemple, où on avait bien une matrice 3x3 avec 3 solutions à déterminer, et où une ligne disparaissait mystérieusement ! Voici lexemple en question :

    On est dans un cas ou a=3 et rang(Ab)=rangA=2 :

    ( 0 3 1) (x) (2)
    ( 2 5 0) (y) = (1)
    (-2 1 2) (z) (3)

    Et là, à l'étape suivante, voici ce qui se produit, et je ne le comprend pas non plus :

    ( 2 5 0) (x) (1)
    (-2 1 2) (y) = (3)
    (z)

    Une ligne à complètement disparu. Et alors apres, on décompose donc ce système comme tu me l'as expliqué ci dessus, pcq on se retrouve avec deux équations pr trois solutions. Là ok, j'ai compris, mais où est passée cette ligne ?

    Encore une petite question, qu'est ce que la dimension de l'espace des solutions ?
    Dans mon exemple ici présent, on me dit que la dimension de l'espace des solutions vaut 1. Comment le détermine -t- on ?

    Merci bcp !!
    "Black holes are where God divided by zero"

  4. #4
    rvz

    Re : Système d'équations

    Citation Envoyé par amwus

    Encore une petite question, qu'est ce que la dimension de l'espace des solutions ?
    Dans mon exemple ici présent, on me dit que la dimension de l'espace des solutions vaut 1. Comment le détermine -t- on ?

    Quand tu résous Ax = b, avec A une matrice. Il est facile de voir que l'ensemble des solutions est un espace affine, dirigé par Ker(A).
    En effet, si y est solution de Ax =b, alors Ay=b, et z est solution de Ax =b ssi A(z-y)=0.
    Donc ou la dimension de l'ensemble des solutions est la dimension du noyau si il y a une solution, ou il n'y a pas de solution : En effet, dans ce cas, il n'existe pas de y tel que Ay =b.
    Le deuxième cas se présente-t-il ? Eh bien oui !
    Par exemple, si tu prends la matrice nulle, et b non nul.
    Donc il faut vérifier que b est dans l'image de A.
    Pour ton premier exemple, c'est très clair. Le rang de la matrice est 2, ce qui est la dimension de l'espace d'arrivée, et donc n'importe quel b est forcément dans l'image de A. Il est donc clair que l'espace des solutions de Ax=b est forcément de dimension 1.
    Quant à ton dernier exemple, je pense juste que tu fais une erreur. Ca ressemble très fortement à l'algorithme du pivot de Gauss, où on a intervertit les lignes pour mettre un pivot non nul en position (1,1), et je ne vois pas de raison de faire disparaitre la ligne en z !
    !2 5 0! !y! ! 1!
    !-2 1 2! !z! ! 3!
    !0 3 1! !x! = ! 2 !
    (permutation des lignes) puis
    ! 2 5 0! !y! !1!
    !0 6 2! !z! !4!
    !0 3 1! !x! = !2!
    On a ajouté les deux premières lignes à la deuxième ligne.
    Ici, on s'aperçoit que les lignes 2 et 3 sont les mêmes, à multiplication près; donc que la matrice est de rang 2, et l'espace des solutions est donc un espace affine de dimension 1 ou vide. Ici, puisque les équations 2 et 3 sont les mêmes avec le même résultat, à coefficients égaux prêts (je veux dire 6z+2x = 4 ssi 3z+x = 2), l'espace des solutions est non vide.
    Donc, on peut les indicer, par exemple, par x
    2 y + 5z =1
    6z = 4-2x
    Donc z= 2/3 - x/3
    y = 1/2 - 10/3 -5x/3
    Et on a ainsi décrit l'ensemble des solutions.

    __
    rvz

  5. A voir en vidéo sur Futura

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