Puissance matrice ...

[invite7b72de50]

Re bonjour ! Une troisième question pour auj. je sais ca fait, bcp, mais j'ai examen lundi prochain, et je voudrais le rater pr rien au monde !!

Alors voila, si on a une matrice, et qu'on me demande si pour tout n € N, la matrice Aⁿ = une autre matrice. En gros, démontrer que la matrice Aⁿ=A' (on me donna A').

Faut il procéder par récurrence ? Je ne vois pas comment on peut y arriver pour une matrice ! Comment faire une démo par réurrence, si c'est bien comme cela qu'il faut s'y prendre, pour démontrer un tel probleme ?

Merci !
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[invite0f5c0a62]

sinon tu peux nous donner ta matrice pour qu'on puisse la tronche qu'elle a, ainsi que le reste de l'exercice d'ailleurs.

il se peut qu'il y a déjà une relation de récurrence ou un moyen facile de calculer A^n

[invitec314d025]

A' dépend de n ? Si ce n'est pas le cas c'est trivial.
Sinon, je ne vois pas en quoi le fait que l'oon travaille sur des matrices pose un problème pour la récurrence.

[invite7b72de50]

hm c vrai que mon exemple n'est pas tres complet lol.
Je vais donner tout un énoncé ^^:

Soit M la matrice :

(1 2 0)
(0 1 2)
(0 0 1)

Démontrer que pour tout n € N, Mⁿ=

(1 2n 2n(n-1))
(0 1 2n )
(0 0 1 )

Voila. C'est ce type d'énoncé qui me pose probleme. J'en ai plusieurs de ce type et je ne sais pas trop comment procéder....

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite52c52005]

Bonjour,

dans l'exemple que tu nous as donné, la récurrence fonctionne très bien.

[invite7b72de50]

Hum oui c'est bien ce qu'il me semblait.... Heu je ne sais pas le faire. La récurrence est un point noir chez moi. Alors pour une matrice. Je sais qu'on va d'abord devoir tester le cas de base, n=1 je suppose, ca fonctionne je l'ai testé. Ensuite, on passe au cas récursif n+1. C'est la que ca me pose probleme. Je ne sais pas comment continuer. Je bloque...

[invite52c52005]

Tu supposes que ta matrice vérifie l'égalité. Et ensuite tu calcules en multipliant par M. En rassemblant les termes dans la matrice calculée, tu constateras que tu obtiens bien l'expression cherchée au rang n+1. Il n'y a pas de piege, ni d'astuce particulière.

[invite7b72de50]

Donc concrètement, je teste le cas de base n=1. Ensuite, je suppose que c'est aussi vrai pour Mⁿ (?) puis je teste pour Mⁿ⁺¹.
Mⁿ que l'on suppose correct, c'est l'hypothèse de récurrence non ? (juste pr savoir si j'ai compris lol).
Bon j'essaierai ca demain matin !
merci

[invitedf667161]

Apparement tu as bien compris. Bonne nuit !

[invite7b72de50]

Quand on dit que la matrice vérifie l'égalité, on suppose juste que ce qui est dans l'énoncé est vrai en gros ? Donc que Mⁿ est bien égale à ce qui est supposé dans l'énoncé ?
He quoi alors il me reste juste à multiplier cette matrice supposée vraie par la matrice de base M ? Hmm j'ai du me gourer qque part alors ! j'y retourne lol.

[invite86822278]

Tu as deja montre que pour n=1 la propriete est verifiee. (notons H(n) la propriete de recurrence au rang n)
Tu consideres que au rang n donne le resultat voulu.
Tu calcules en multipliant la matrice supposee par M.
Si tu obtiens la forme souhaitee, c'est que pour tout n, si Hn est vraie, H(n+1) est vraie aussi. Donc, comme H(1), on a H(n) pour tout n>=1.