Matrice à la puissance p

[invite1d93df33]

Bonjour à tous

je dois élever la matrice A=

0 y z
0 0 y
0 0 0

à la puissance p

j'essaie de suivre la méthode

- chercher un polynome P de degré raisonnable (2 voire 3) annulé par cette matrice.
- chercher une base du reste de la division euclidienne par P (il est inutile de chercher le quotient)
- en écrivant la division euclidienne appliquée à A, la solution tombe toute seule

je forme le polynôme caractéristique j'obtiens -X³ qui est scindé sur R, et 0 est valeur propre triple

ça voudrait dire que 0 est racine du polynôme annulateur ce qui me gène un peu

Pourriez-vous me donner un coup de main ?

Merci d'avance
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[invitec053041c]

Bonsoir.

Tout simplement, comme X^3 est annulateur de M , alors:

M^p=0 si p>=3
M^p différent de 0 si p<3 à priori (et c'est le cas car X^3 est le ponynôme annulateur minimal)
, et tu as juste à calculer P² finalement .

[invite1d93df33]

bonsoir,

merci beaucoup pour ton aide

[invite1d93df33]

Re bonsoir

et si maintenant je veux élever cette matrice triangulaire supérieure à la puissance n

x y z
0 x y
0 0 x

le polynôme caractéristique est (x-X)³ qui est scindé sur R et x est valeur propre triple

Là je n'ai qu'une valeur propre, différente de 0, un cas que je n'ai pas encore vu. Je dois utiliser cette valeur propre pour faire une récurrence sur n, ou utiliser une autre méthode ?

Merci d'avance

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite35452583]

Tu as

Maintenant tu utilises le binome de Newton (les deux matrices commutent) et ce que tu as déjà trouvé pour A.

[invitea774bcd7]

C'est d'ailleurs un théorème qui dit qu'on peut toujours prendre l'exponentielle d'une matrice carrée.
Car cette matrice est toujours au moins triangularisable (dans la plupart des cas, elle est directement diagonalisable…) et cette matrice triangulaire peut toujours être écrite comme une matrice diagonale plus une matrice nilpotente (qui commutent…)

[invite6b1e2c2e]

C'est d'ailleurs un théorème qui dit qu'on peut toujours prendre l'exponentielle d'une matrice carrée.
Car cette matrice est toujours au moins triangularisable (dans la plupart des cas, elle est directement diagonalisable…) et cette matrice triangulaire peut toujours être écrite comme une matrice diagonale plus une matrice nilpotente (qui commutent…)

Salut,

Certes ce que tu dis est vrai et permet de calculer "à la main" des exponentielles de matrice, mais l'exponentielle est toujours bien défini dans n'importe quelle algèbre (avec norme d'algèbre toutefois, ie ||AB || <= ||A|| ||B||, et supposée complète pour cette norme). Pour cela, il suffit de prouver que la série entière converge pour tout A, ce qui est le cas, essentiellement parce qu'on peut se ramener au cas réél..

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rvz