puissance n'ieme de matrice d'ordre 3

[kandour]

bon soir tout le monde
je cherche a calculer d'une facon simple la puissance n'ieme de la matrice d'ordre 3 suivante :
M= (B A^2 AB)
(A B 0)
(0 A B)
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[invite5c27c063]

Une méthode qui marche quand aucune récurrence ne saute aux yeux :
- Cherche un polynome P de degre raisonnable (2 voire 3) annulé par cette matrice.
- cherche une base du reste de la division euclidienne de par P. (Il est inutile de chercher le quotient)
- en écrivant la division euclidienne appliquée à M, la solution tombe toute seule

Pour , la recherche du polynome annulateur me parait anormalement calculatoire (modulo les erreurs de calcul à cette heure avancée)

[invitea3eb043e]

Et en diagonalisant ?
C'est facile quand a=0. Autrement, faut voir !

[inviteaf1870ed]

Voir le lien
http://www.quickmath.com/www02/pages...es/index.shtml

Au vu de la matrice M^3, il n'y a guère d'espoir de trouver une méthode simple...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4ef352d8]

Salut !


aucune simplification ne ce produit dans le calcule donc tous ce qu'on peut faire c'est :

calculer le polynome charactéristique de la matrice, (regarder rapidement si le polynome minial est plus simple une fois qu'on a le polynome charactéristique, mais ici les valeur propre ne sont aps explicitable facilement donc rien a faire),

utiliser Calley-Hamilton : je trouve M^3=3*b*M^2+(a^3-3*b^2)*M+b^3*I

et en deduire une relation de recurence qui permet de calculer M^n :
M^(n+3) = 3*b*M^2 + (a^3-3*b^2)*M^(n+1) + b^3*M^n


etant donné que les valeurs propres de M ne peuvent pas être expliciter simplement (on peut, mais avec une expression complement inutilisable ! ), toute les autres expressions seront totalement horrible !

[invitee6d65099]

Bonjour,

Considérons le système d’équations suivant :
Y1= β0+β1x11+ ……+βk x1k+ε1
Y2= β0+β1x21+ ……+βk x2k+ε2

Yn= β0+β1xn1+ ……+βk xnk+εn

Ce système peut s’écrire sous la forme matricielle suivante Y= βX+ ε

Si quelqu’un c’est comment définir les quatre matrices utilisées et leur dimension ça m’aiderai énormément

[invitee6d65099]

j'ai reussi, merci quand même par contre si quelqu'un sait quelles sont les conditions à respecter pour que la matrice des estimateurs beta existe ca serais cool!!
merci

[kandour]

bon soir tout le monde
je cherche a calculer d'une facon simple la puissance n'ieme de la matrice d'ordre 3 suivante :
M= (B A^2 AB)
(A B 0)
(0 A B)

merci a tous qui ont pris en charge de penser a ce probleme
je signale seulement que cette matrice m'aide a comprendre mieux les equation de type X^3-AX-B=0 de meme les suite recurrente a 2 pas de la forme
Un+2 =AUn+BUn-1 avec comme condition initial u0=u2=0et u1=1 mais de trouver l'expression de la suite
sans passer par les trois racines de X^3-AX-B=0 car j'ai vue que la suite s'exprime Un=ax1^n+bx2^n+cx3^n
avec x1,x2,x3 sont les solution de X^3-AX-B=0