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Calcul de puissance d'une matrice !



  1. #1
    Ayrawhsia Aathsir Tia

    Unhappy Calcul de puissance d'une matrice !


    ------

    Salut à tous, j'ai un problème dans le calcul d'une puissance d'une matrice. En fait un résultat vraiment étrange.
    Soit la matrice :

    qu'on diagonalise aisément, le spectre étant {0,2,6,12}
    On calcule la puissance k de la matrice avec les projecteurs spectraux :

    Pour déterminer P, Q et R, j'utilise les polynomes de Lagrange, c'est à dire P est en fait la matrice f(A) où . En procédant de même pour les autres, je trouve donc finalement :



    L'ennui c'est que lorsque je vérifie le calcul avec Maple, ca colle pour k=0, 1 et 2. Mais après ca ne marche plus "directement". Quand je dis directement, c'est lorsque je fais le calcul direct de A^k, je ne trouve pas la même chose. Je m'explique, lorsque je fais :
    (où B(k) est la puissance k-ième de A calculée avec la diagonalisation)
    - evalm(A&*B(2)) je trouve bien A^3
    Mais lorsque je fais evalm(B(3)), je ne trouve pas la bonne matrice...

    Etrange non ?
    D'où vient l'erreur ?

    Merci pour votre aide !

    -----

  2. #2
    Ksilver

    Re : Calcul de puissance d'une matrice !

    Salut !


    le probleme viens de tes polynomes de lagrange qui sont faux.


    déja, ca ne devrait pas coller pour k=0 car tu n'as pas ecris le projecteur spectral corespondant a la valeur propre nul (ce n'est pas grave, car il n'apparait que pour k=0... mais du coup ta formule n'est vrai que pour k>0)

    de plus... et bien il manque un facteur A a chacun de tes polynomes de lagrange, et tes dénominateur je sait pas trop d'ou tu les a sorti... mais a priori ils sont faux !


    un calcule "directe" me donne comme formule :
    A^k=2^k*A*(A-6)*(A-12)/80-6^k*A*(A-2)*(A-12)/(36*4)+12^k*A*(A-2)*(A-6)/(12*10*6)

  3. #3
    Ksilver

    Re : Calcul de puissance d'une matrice !

    a mais attend !!

    apres tu as simplifié par A, et tu as décalé les indices d'un rang ? en faisant ca je crois qu'on trouve exactement ce que tu as ecrit.

    le probleme c'est que A n'est pas inversible ! donc "simplifier par A" peut amener a un résultat faux !

    (ce qui explique que quand tu re-multiplie par A ensuite tu trouve un résultat juste...)

  4. #4
    Ayrawhsia Aathsir Tia

    Re : Calcul de puissance d'une matrice !

    Ouais j'ai complètement zappé la valeur propre 0, du coup dans les Lagrange il manquent bien A en facteur et donc les dénominateurs sont faux aussi...
    Effectivement, je pense que les résultats étranges viennent de A non inversible !

    Merci à toi

    @++

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