calcul de rang d'une matrice

[rajamia]

bonsoir à tous.

bon moi je veux savoir comment on calcul le rang d'une matrice de vandermande
qui n'est pas carrée (on sait bien tous que toute matrice de vandermande est inversible) si elle était de taille r x n est ce que le rang=r? c ma première question la deuxième comment on le fait dans le cas général càd comment trouver le rang si on a une matrice de taille r x n?
merci d'avance j'attends vos réponses.
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[invite4793db90]

Salut,

le rang d'une matrice est aussi la taille de la plus grande sous-matrice inversible.

Cordialement.

[rajamia]

bonjour

Salut,

le rang d'une matrice est aussi la taille de la plus grande sous-matrice inversible.

Cordialement.

oui je suis d'accord avec toi, mais lorsqu'on a une matrice de taille grande comment on fait dans ce cas pour trouver les sous matrices et voir celles qui sont inversibles?
merci

[invite4793db90]

Salut,

qu'entends-tu par "grande" ? Et la matrice est donnée numériquement, ou avec des variables ?

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[rajamia]

je veux t'envoyer la matrice mais je ne sais pas comment faire?

[rajamia]

si je l'écris en latex comment faire pour la poster

[invite4793db90]

je veux t'envoyer la matrice mais je ne sais pas comment faire?

Dis-moi d'abord sa taille, stp !

Sinon, tu peux utiliser les balises

[tex] formule [/tex]

pour l'écrire en tex.

Au pire, écris les coeffs en revenant à la ligne.

Cordialement.

[rajamia]

voici la matrice je te laisse le soin de la modifier pour qu'elle soit plus lisible, tu trouve la taille les coefficients et tous

[rajamia]

ah c bien ça marche bien, je n'imaginais pas vraiment que ça marchera

[invite4793db90]

Ah oui, en effet !

Je vais voir si j'ai une idée...

Cordialement.

[rajamia]

j'attends avec impatience ta réponse par ce qu'elle m'a pris bcp du temps sans résultat, c'est très compliquée n'est ce pas?

[invite4793db90]

Salut,

soit le nombre de distincts : le rang de H est égal au plus petit des deux nombres et (je suppose que les et sont non-nuls !).

En effet, la sous-matrice carrée



admet pour déterminant




avec .

Or :



En effet, il est clair que divise car si deux sont égaux, le déterminant est nul (deux colonnes identiques dans H'). Vu comme un polynôme en les , est de degré , si bien que (on peut montrer par récurrence facile que , mais ce n'est pas essentiel).

Bilan : si on prend une sous-matrice constituée de colonnes avec les distincts deux à deux, alors la matrice carrée associée (en s'arrêtant à la -ième ligne) est inversible, d'où le rang supérieur ou égal à .

J'espère que c'est à peu près clair...

Cordialement.

[rajamia]

salut

j'ai compris tous les passages sauf la dernière égalité,peux- tu m'expliquer encore comment tu trouver le dernier produit,
et merci bcp

[invite4793db90]

En tant que polynôme en la variable , le déterminant est de degré . Comme le polynôme est aussi de degré et qu'il divisise le déterminant, c'est qu'il lui est égal, au coefficient dominant près.

C'est bien ce passage sur lequel tu voulais des précisions ?

Cordialement.

[rajamia]

bonsoir
oui tout à fait t'as raison,merci
bonne soirée