Rang d'une matrice !!

[invitecbade190]

Bonsoir :
La question est :
Etudier le rang de la matrice suivante selon les valeurs du paramètre :

Certains personnes m'ont recommandé de developper la matrice selon la methode du pivot, voiçi ce que j'ai trouvé :

Mais, après je ne sais pas conclure !!
J'ai jamais étudié les rangs des matrices en classe, la seule chose de ce que je me rappelle, c'est qu'on a juste defini le rang d'une matrice comme etant la dimension de l'image de l'application correspondante.. et c'est tout ..!! on n'a malheureusement fait ni exercices ni rien du tout concernant ce sujet là...
Est ce que vous pouvez m'expliquer en detail comment on calcule en general, le rang d'une matrice .. et comment proceder pour resoudre ce problème là ?!
Il semble d'après la matrice obtenu qu'il y'aura trois cas distincts : et , , mais pour la suite je ne sais pas faire.. aidez moi !!
Merci infiniment !!
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[invitec053041c]

Bonjour.

Que dirais-tu de l'étude du déterminant en fonction de m ?

[invitecbade190]

Bonsoir "Ledescat" :
Le determinant est egale à : , et ensuite ... comment terminer ...??
merci beaucoup pour ta reponse !!

[invited5b2473a]

Si le déterminant n'est pas nul, c'est que ta matrice est inversible.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea07f6506]

Mais l'étude du déterminant 'est pas suffisante pour connaître le rang de ta matrice quand son déterminant est nul. A ce point-là, il faudra écrire explicitement les matrices concernées.

[invitecbade190]

oui mais moi je suis un peu perdu là, je vois pas du tout comment faire .. Si la matrice est inversible ( c'est à dire le determinant est non nul, different de 0 et 2 ) alors les colonnes ou bien les lignes forment une base, c'est à dire le rang est egale à 3...Est ce que c'est bien ça ?!?!
aidez moi, merci beaucoup !!!

[invitec053041c]

Si le det est non nul (dans la plupart des cas, sauf 2 et 0), la matrice est inversible donc le rang est bien 3.

Reste à voir ce qui se passe lorsque m=0 puis lorsque m=2.

[invitecbade190]

Je crois que je commence à comprendre :
Pour calculer le rang d'une matrice, il faut considerer les colonnes ou bien les lignes comme des vecteurs qui engendre l'espace d'arrivée par exemple si sont les vecteurs colonnes alors, le rang de la matrice correspondtante est la dimension de : l'espace engendré par cette famille de colonnes !! si les colonnes forment une base alors le rang est le cardianal des colonnes, si ce n'est pas le cas, on regroupe les colonnes qui sont liés et les considerer comme un seul vecteurs, jusqu'à obtenir une famille de vecteurs lbres et le rang dans ce cas, c'est la cardinal de cette famille libre ... Est ce que c'est bien ça ?!

[invitecbade190]

Si : la matrice devient : , le rang est egale à .
Si : la matrice devient : , le rang est egale à .

[invitec053041c]

Est ce que c'est bien ça ?!

Pourquoi pas oui .

EDIT: je suis d'accord avec tes résultats. Et pour faire une belle synthèse, pour m différent de 2 et 0 ? (je sais que tu le sais mais je rabache )